【BZOJ】【1061】【NOI2008】志愿者招募

网络流/费用流

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　　OrzOrzOrz，这题太神了不会捉。

题解：https://www.byvoid.com/blog/noi-2008-employee/

这道题正确的解法是构造网络，求网络最小费用最大流，但是模型隐藏得较深，不易想到。构造网络是该题的关键，以下面一个例子说明构图的方法和解释。

例如一共需要4天，四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者，如下表所示：

种类	1	2	3	4	5
时间	1-2	1-1	2-3	3-3	3-4
费用	3	4	3	5	6

设雇佣第i类志愿者的人数为X[i]，每个志愿者的费用为V[i]，第j天雇佣的人数为P[j]，则每天的雇佣人数应满足一个不等式，如上表所述，可以列出

P[1] = X[1] + X[2] >= 4

P[2] = X[1] + X[3] >= 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5

P[4] = X[5] >= 3

对于第i个不等式，添加辅助变量Y[i] (Y[i]>=0) ，可以使其变为等式

P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5

P[4] = X[5] - Y[4] = 3

在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0，每次用下边的式子减去上边的式子，得出

① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2

③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3

④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2

⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3

观察发现，每个变量都在两个式子中出现了，而且一次为正，一次为负。所有等式右边和为0。接下来，根据上面五个等式构图。

• 每个等式为图中一个顶点，添加源点S和汇点T。

• 如果一个等式右边为非负整数c，从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c，权值为0的有向边；如果一个等式右边为负整数c，从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c，权值为0的有向边。

• 如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为X[i]，在第k个等式中出现为-X[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为V[i]的有向边。

• 如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为Y[i]，在第k个等式中出现为-Y[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为0的有向边。

构图以后，求从源点S到汇点T的最小费用最大流，费用值就是结果。

根据上面的例子可以构造出如下网络，红色的边为每个变量X代表的边，蓝色的边为每个变量Y代表的边，边的容量和权值标已经标出(蓝色没有标记，因为都是容量∞，权值0)。

在这个图中求最小费用最大流，流量网络如下图，每个红色边的流量就是对应的变量X的值。

所以，答案为43+23+3*6=36。

上面的方法很神奇得求出了结果，思考为什么这样构图。我们将最后的五个等式进一步变形，得出以下结果

① - X[1] - X[2] + Y[1] + 4 = 0

② - X[3] + X[2] + Y[2] - Y[1] - 2 = 0

③ - X[4] - X[5] + X[1] + Y[3] - Y[2] + 3 = 0

④ X[3] + X[4] - Y[3] + Y[4] - 2 = 0

⑤ X[5] - Y[4] - 3 = 0

可以发现，每个等式左边都是几个变量和一个常数相加减，右边都为0，恰好就像网络流中除了源点和汇点的顶点都满足流量平衡。每个正的变量相当于流入该顶点的流量，负的变量相当于流出该顶点的流量，而正常数可以看作来自附加源点的流量，负的常数是流向附加汇点的流量。因此可以据此构造网络，求出从附加源到附加汇的网络最大流，即可满足所有等式。而我们还要求最小，所以要在X变量相对应的边上加上权值，然后求最小费用最大流。

我写的是朴素的SPFA算法求增广路的最小费用流算法，可以在题目时限内通过所有测试点。

在NOI的现场上，该题得分的平均分12.56，只有高逸涵大牛拿到了满分。不能不说这是一道难题，难就难在抽象出问题的数学模型，设计有效的算法。而信息学竞赛正朝着这个方向发展，数学建模将是解决问题的共同关键步骤。

我的感想：这好像是用的线性规划里化不等式为等式的手法，转化成等式后利用本题的特殊性建模的……（喂喂，本来网络流就算是线性规划里的一种吧！）那么……是不是也可以用单纯形去做呢？（大雾）

/**************************************************************
    Problem: 1061
    User: Tunix
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:1308 ms
    Memory:5992 kb
****************************************************************/
 
//BZOJ 1000
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
#define pb push_back
#define CC(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
int getint(){
    int v=0,sign=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') sign=-1; ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {v=v*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return v*sign;
}
const int N=2010,M=200000,INF=~0u>>2;
const double eps=1e-8;
/*******************template********************/
int n,m,ans,p[N];
struct edge{int from,to,v,c;};
struct Net{
    edge E[M];
    int head[N],next[M],cnt;
    void ins(int x,int y,int z,int c){
        E[++cnt]=(edge){x,y,z,c};
        next[cnt]=head[x]; head[x]=cnt;
    }
    void add(int x,int y,int z,int c){
        ins(x,y,z,c); ins(y,x,0,-c);
    }
    int d[N],from[N],Q[M],S,T;
    bool inq[N];
    bool spfa(){
        int l=0,r=-1;
        F(i,1,T) d[i]=INF;
        d[S]=0; Q[++r]=S; inq[S]=1;
        while(l<=r){
            int x=Q[l++]; inq[x]=0;
            for(int i=head[x];i;i=next[i])
                if(E[i].v && d[x]+E[i].c<d[E[i].to]){
                    d[E[i].to]=d[x]+E[i].c;
                    from[E[i].to]=i;
                    if(!inq[E[i].to]){
                        Q[++r]=E[i].to;
                        inq[E[i].to]=1;
                    }
                }
        }
        return d[T]!=INF;
    }
    void mcf(){
        int x=INF;
        for(int i=from[T];i;i=from[E[i].from])
            x=min(x,E[i].v);
        for(int i=from[T];i;i=from[E[i].from]){
            E[i].v-=x;
            E[i^1].v+=x;
        }
        ans+=x*d[T];
    }
    void init(){
        n=getint(); m=getint(); cnt=1;
        S=0; T=n+2;
        int x,y,z;
        F(i,1,n) p[i]=getint();
        F(i,1,n+1){
            if (i>1) add(i,i-1,INF,0);
            if (p[i]>=p[i-1]) add(S,i,p[i]-p[i-1],0);
            else add(i,T,p[i-1]-p[i],0);
        }
        F(i,1,m){
            x=getint(); y=getint(); z=getint();
            add(x,y+1,INF,z);
        }
        while(spfa()) mcf();
        printf("%d
",ans);
    }
}G1;
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.txt","r",stdin);
//  freopen("output.txt","w",stdout);
#endif
    G1.init();
    return 0;
}

1061: [Noi2008]志愿者招募

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 162 MB
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Description

申 奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过 估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最 优的招募方案。

Input

第 一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负整数，表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

Output

仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2

Sample Output

14

HINT

招募第一类志愿者3名，第三类志愿者4名 30%的数据中，1 ≤ N, M ≤ 10，1 ≤ Ai ≤ 10； 100%的数据中，1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。

Source

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