【BZOJ】【2752】【HAOI2012】高速公路(Road)

数学期望/线段树

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　　然而又是一道road= =上一道是2750……

　　下次不要一看期望题就弃疗么……

　　期望题≠不可做题……！！

　　其实在这题中，期望就是（所有情况下 权值之和）/（总方案数）

　　因为是等概率抽取区间啊= =2333

　　然而分母很好搞，直接就能算出来，所以我们要来搞分子……

　　分子其实是个这玩意：$$sum_{i=l}^{r} v[i]*(i-l+1)*(r-i+1)$$
　　（我不会告诉你一开始我没加“+1”……）

　　然而我一开始直接用“几何意义”之类的鬼玩意想往上套，果断跪了Orz

　　膜拜了zyf的题解，其实正确姿势是这样的！$$egin{aligned} sum_{i=l}^{r} v[i]*(i-l+1)*(r-i+1) &= sum_{i=l}^{r} v[i]*[(r-l-l*r+1)+i*(l+r)-i^2] \ &=sum_{i=l}^{r} ig (v[i]*(r-l-l*r+1) + v[i]*i*(l+r)-v[i]*i^2 ig ) end{aligned}$$

　　然后知道了这个能干嘛？…………其实………… l 和 r 就是询问的 l 和 r ，所以我们只需要维护与 i 相关的项，即$sum v[i]$、$sum v[i]*i$和$sum v[i]*i^2$就可以计算答案啦~（然而蒟蒻没想到……T^T

　　嗯……怎么维护？合并就是直接加嘛= =反正只跟坐标相关，然后对整个区间都add一个值？……这是数学问题不要问我>_>  （其实我也不会

WA：在upd的时候，由于运算时出现了l*r这个不和谐的项……所以传进去的 l 和 r 得是long long

/**************************************************************
    Problem: 2752
    User: Tunix
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:3712 ms
    Memory:16904 kb
****************************************************************/
 
//BZOJ 2752
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long LL;
inline LL getint(){
    LL r=1,v=0; char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-1;
    for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*10-'0'+ch;
    return r*v;
}
const int N=100010;
/*******************template********************/
int n,m;
struct node{
    LL num[4],ad;
    node(){F(i,0,3) num[i]=0; ad=0;}
}t[N<<2];
 
node maintain(node L,node R){
    node tmp;
    F(i,1,3) tmp.num[i]=L.num[i]+R.num[i];
    return tmp;
}
#define mid (l+r>>1)
#define L (o<<1)
#define R (o<<1|1)
void upd(int o,LL l,LL r,LL v){
    t[o].ad+=v;
    t[o].num[1]+=v*(r-l+1);
    t[o].num[2]+=v*(r+l)*(r-l+1)/2;
    t[o].num[3]+=v*(r*(r+1)*(2*r+1)-(l-1)*l*(2*l-1))/6;//数学没学好QAQ
}
void Push_down(int o,int l,int r){
    if (t[o].ad){
        upd(L,l,mid,t[o].ad);
        upd(R,mid+1,r,t[o].ad);
        t[o].ad=0;
    }
}
void update(int o,int l,int r,int ql,int qr,LL v){
    if (ql<=l && qr>=r) upd(o,l,r,v);
    else{
        Push_down(o,l,r);
        if (ql<=mid) update(L,l,mid,ql,qr,v);
        if (qr>mid) update(R,mid+1,r,ql,qr,v);
        t[o]=maintain(t[L],t[R]);
    }
}
node query(int o,int l,int r,int ql,int qr){
    if (ql<=l && qr>=r) return t[o];
    else{
        Push_down(o,l,r);
        node ans;
        if (ql<=mid) ans=maintain(ans,query(L,l,mid,ql,qr));
        if (qr>mid) ans=maintain(ans,query(R,mid+1,r,ql,qr));
        return ans;
    }
}
inline LL gcd(LL a,LL b){return b ? gcd(b,a%b) : a;}
void solve(LL fz,LL fm){
    fm=fm*(fm+1)/2;
    LL d=gcd(abs(fz),fm);
//  cout << fz <<" "<<fm<<' '<<d<<endl;
    fz/=d; fm/=d;
    printf("%lld/%lld
",fz,fm);
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("2752.in","r",stdin);
    freopen("2752.out","w",stdout);
#endif
    n=getint()-1; m=getint();
    char cmd[5];
    F(i,1,m){
        scanf("%s",cmd);
        LL l=getint(),r=getint()-1,v;
        if (cmd[0]=='C'){
            v=getint();
            update(1,1,n,l,r,v);
        }else{
            node ans=query(1,1,n,l,r);
            LL fz=ans.num[1]*(r-l-l*r+1)+ans.num[2]*(l+r)-ans.num[3];
            solve(fz,r-l+1);
        }
    }
    return 0;
}

2752: [HAOI2012]高速公路(road)

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 128 MB
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Description

Y901高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。
Y901高速公路是一条由N-1段路以及N个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为1~N，从收费站i行驶到i+1(或从i+1行驶到i)需要收取Vi的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。
政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。
无聊的小A同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的l,r(l<r),在第l个到第r个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢?

Input

第一行2个正整数N,M，表示有N个收费站，M次调整或询问
接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种
C l r v 表示将第l个收费站到第r个收费站之间的所有道路的通行费全部增加v
Q l r   表示对于给定的l,r，要求回答小A的问题
所有C与Q操作中保证1<=l<r<=N

Output

对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数a，输出a/1

Sample Input

4 5
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4

Sample Output

1/1
8/3
17/6

HINT

数据规模

所有C操作中的v的绝对值不超过10000

在任何时刻任意道路的费用均为不超过10000的非负整数

所有测试点的详细情况如下表所示

Test N M

1 =10 =10

2 =100 =100

3 =1000 =1000

4 =10000 =10000

5 =50000 =50000

6 =60000 =60000

7 =70000 =70000

8 =80000 =80000

9 =90000 =90000

10 =100000 =100000

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