【模拟试题3】【20150527】

树形DP+背包

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　　老师让我们补做了一下PKUSC那周的题目= =

　　这次好像是树形DP的专题？感觉题目还是很棒的，值得将来再回头学习。

Cateran

　　树形状压DP，其实在看题解之前我似乎并没有搞懂这题在干什么……

　　对于节点 i ，我们考虑f[i][j]表示 i 这棵子树中，分部包含情况为 j 的最大收益，因为一个分部管的是从x到根的所有点，所以对于一个点来说，管它的就是子树中的所有分部，所以就可以dp啦~依次枚举每个儿子的子树中有哪些分部，用一个辅助数组，我们可以搞：

　　c[j]=f[x][j];

　　c[j]=max(c[j],f[y][k]+f[x][j^k]);

　　f[x][j]=c[j];

依次搞下来即可。

　　初始化就是分部全部在 x 节点。计算完后要加上符合的收益（T种中的某一些……）

//20150527 cateran
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long LL;
inline int getint(){
    int r=1,v=0; char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-1;
    for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*10-'0'+ch;
    return r*v;
}
const int N=4100;
/*******************template********************/

int head[110],nxt[220],to[220],cnt;
void add(int x,int y){
    to[++cnt]=y; nxt[cnt]=head[x]; head[x]=cnt;
    to[++cnt]=x; nxt[cnt]=head[y]; head[y]=cnt;
}
int n,m,T,a[110][15],b[N],c[N];
int f[110][N];

void dfs(int x,int fa){
    rep(j,(1<<m)){
        f[x][j]=0;
        rep(i,m) if (j&(1<<i)) f[x][j]-=a[x][i+1];
//        printf("f[%d][%d]=%d
",x,j,f[x][j]);
    }
    int y;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
        if ((y=to[i])!=fa){
            dfs(y,x);
            rep(j,(1<<m)) c[j]=f[x][j];
            rep(j,(1<<m))
                for(int k=j;k;k=(k-1)&j)
                    c[j]=max(c[j],f[y][k]+f[x][j^k]);
            rep(j,1<<m) f[x][j]=c[j];
        }
    rep(i,1<<m)
        for(int k=i;k;k=(k-1)&i) f[x][i]+=b[k];
//    rep(i,1<<m) printf("f[%d][%d]=%d
",x,i,f[x][i]);
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("cateran.in","r",stdin);
    freopen("cateran.out","w",stdout);
#endif
    n=getint(); m=getint();
    F(i,2,n){
        int x=getint(),y=getint();
        add(x,y);
    }
    F(i,1,n) F(j,1,m) a[i][j]=getint();
    T=getint();
    F(i,1,T){
        int v=getint(),c=getint(),now=0,x;
        F(j,1,c){
            x=getint();
            now|=1<<(x-1);
        }
        b[now]+=v;
    }
    dfs(1,0);
    printf("%d
",f[1][(1<<m)-1]);
    return 0;
}

Party

　　……傻逼题吧……f[x][0]表示邀请这个人时，这棵子树的最大收益；f[x][1]表示不邀请……

//20150527 party
#include<cstdio>
#include<string>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long LL;
inline int getint(){
    int r=1,v=0; char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-1;
    for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*10-'0'+ch;
    return r*v;
}
const int N=110;
/*******************template********************/

int head[N],to[N],next[N],cnt;
void add(int x,int y){
    to[++cnt]=y; next[cnt]=head[x]; head[x]=cnt;
}

int v[N],fa[N],f[N][2],n;
char s1[N][25],s2[N][25];
map<string,int>mp;

void dfs(int x){
    f[x][0]=0; f[x][1]=v[x];
    for(int i=head[x];i;i=next[i]){
        dfs(to[i]);
        f[x][0]+=max(f[to[i]][0],f[to[i]][1]);
        f[x][1]+=f[to[i]][0];
    }
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("party.in","r",stdin);
    freopen("party.out","w",stdout);
#endif
//    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n;
    F(i,1,n){
        cin >> s1[i] >> v[i] >> s2[i];
        mp[s1[i]]=i;
    }
    F(i,1,n){
        fa[i]=mp.find(s2[i])->second;
        add(fa[i],i);
    }
//    F(i,1,n) printf("%d ",fa[i]); puts("");
    int ans=0;
    F(i,1,n) if (fa[i]==0){
        dfs(i);
        ans+=max(f[i][0],f[i][1]);
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

Railway

　　无向图最大权路径覆盖= =？然而其实并不是费用流之类……

　　f[x][0]表示x是孤立点时，x子树内最大收益；

　　f[x][1]表示x子树内有一条链与它相连；

　　f[x][2]表示x子树内有两条链与它相连

　　前两种情况是可以继续向上连的，而第三种情况就不可以了……

　　转移……Orz regina8023 其实是个贪心。

　　先假设所有点都没跟x连，得到f[x][0]，然后再考虑一下将某个儿子连到父亲，会使答案改变多少，贪心地选出1-2个，即可得到f[x][1]和f[x][2]。

//20150527 railway
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long LL;
inline int getint(){
    int r=1,v=0; char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-1;
    for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*10-'0'+ch;
    return r*v;
}
const int N=2010,M=4010,INF=0x3f3f3f3f;
/*******************template********************/

int head[N],nxt[M],to[M],l[M],cnt;
void add(int x,int y,int z){
    to[++cnt]=y; nxt[cnt]=head[x]; head[x]=cnt; l[cnt]=z;
    to[++cnt]=x; nxt[cnt]=head[y]; head[y]=cnt; l[cnt]=z;
}

int n,ans;

int f[N][3],fa[N];
void dfs(int x){
    f[x][0]=f[x][1]=0;
    int max1=-INF,max2=-INF;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
        if (to[i]!=fa[x]){
            fa[to[i]]=x;
            dfs(to[i]);
            int t=max(f[to[i]][1],f[to[i]][2]);
            f[x][0]+=t;
            f[x][1]+=t;
            f[x][2]+=t;
            int p=l[i]+max(f[to[i]][0],f[to[i]][1])-t;
            if (p>max1) max2=max1,max1=p;
            else if (p>max2) max2=p;
        }
    f[x][1]+=max1;
    f[x][2]+=max1+max2;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("railway.in","r",stdin);
    freopen("railway.out","w",stdout);
#endif
    n=getint();
    F(i,2,n){
        int x=getint(),y=getint(),z=getint();
        add(x,y,z);
    }
    dfs(1);
    printf("%d
",max(f[1][1],f[1][2]));
    return 0;
}

Lamp

　　树形背包。

　　好像是在背包九讲的泛型背包里讲的……

　　反正也是很easy的一道题……记录一下从哪里转移过来的即可

　　f[x][i]表示以x为根的子树中总重量为 i 时的最大亮度和。

　　g[x][i]表示以x为根的子树中，不考虑根，总重量为 i 时的最大亮度和。

　　所以我们有：

　　　　g[x][i]=max(g[x][i],g[x][j]+f[son][i-j])

　　　　f[x][i]=g[x][i-w[x]]+l[x];

　　容易发现其实用一个数组就可以了= =这里我用两个数组来表示，只是为了方便理解。

//20150527 lamp
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long LL;
inline int getint(){
    int r=1,v=0; char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-1;
    for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*10-'0'+ch;
    return r*v;
}
const int N=410;
/*******************template********************/

int head[N],nxt[N],to[N],cnt;
void add(int x,int y){
    to[++cnt]=y; nxt[cnt]=head[x]; head[x]=cnt;
}
int f[N][N],w[N],p[N],l[N],n,fa[N];
bool yes[N];
typedef pair<int,int> pii;
#define mp make_pair
pii from[N][N];

void dfs(int x){
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        dfs(to[i]);
        D(j,p[x],w[to[i]]) F(k,w[to[i]],j)
            if (f[x][j-k]+f[to[i]][k]>f[x][j]){
                from[x][j]=mp(to[i],k);
                f[x][j]=f[x][j-k]+f[to[i]][k];
            }
    }
    if (x!=1){
        D(i,p[x]+w[x],w[x]){
            f[x][i]=f[x][i-w[x]]+l[x];
            from[x][i]=from[x][i-w[x]];
        }
    }
}
void Find(int x,int y){
    if (!x || !y) return;
//    cout <<"Find"<<x <<" "<<y <<endl;
    yes[x]=1;
    Find(from[x][y].first,from[x][y].second);
    if (from[x][y].second) Find(x,y-from[x][y].second);
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("lamp.in","r",stdin);
    freopen("lamp.out","w",stdout);
#endif
    n=getint();
    F(i,1,n){
        fa[i]=getint(),w[i]=getint(),p[i]=getint(),l[i]=getint();
        add(fa[i],i);
    }
    dfs(1);
    Find(1,p[1]);
    int num=0;
    F(i,1,n) num+=yes[i];
    printf("%d ",num);
    printf("%d
",f[1][p[1]]+l[1]);
    int cnt=0;
    F(i,1,n) if (yes[i])
        printf("%d%c",i,(++cnt)==num ? '
' : ' ');
//    F(i,1,n){F(j,1,p[i]) printf("%d ",f[i][j]); puts("");}
//    F(i,1,n)F(j,1,p[i]+w[i])if (from[i][j].second) printf("from[%d][%d]=%d,%d
",i,j,from[i][j].first,from[i][j].second);
    return 0;
}