平衡树维护凸壳/三角函数+递推+线段树
官方题解：http://pan.baidu.com/s/1sjQbY8H
洛阳城里春光好
题目大意：（其实出题人已经写的很简短了……直接copy的-_-。sorry！）
一个平面上的n个点构成一个点集。老师会进行Q次操作，每次操作有以下两种可能：
1. 插入操作：给定两个实数x，y，向点集中加入一个坐标为(x,y)的点。
2. 查询操作：给定实数k，取点集中任一点(x,y)，求满足方程y=kx+b的b的最大值。
现在小Z想知道，对于数学老师的每次查询，符合题意的b值是多少。
容易发现我们要找的点是在 凸包上 上凸壳上！（一开始总在想凸包……我真是naive
然后凸包上的线段的斜率满足单调性，所以我们在凸包上二分（lower_bound）即可找到所求的点……
这题我是用两个map来实现的，一个map存凸包，另一个map存斜率。
这里我处理斜率的时候少考虑了一个地方：我在插入凸包中插入一个新点时（p[x]=y），是删除它左右两个点对应直线的斜率，再加入两个新的斜率，然后对凸包进行调整。然而如果p[x]这个位置原来就有一个点的话！就应该是删掉原来的点与两边的点之间线段的斜率，再加入新的斜率，然后对凸包进行调整。
比较开心的是get了一份平衡树维护凸包的模板~（来自这里：http://blog.csdn.net/auto_ac/article/details/10664641）
其实这个是上凸壳的……如果是凸包的话我们维护两个凸壳就好了，下凸壳的维护方法：将所有点的y坐标取反，然后维护一个新的“上凸壳”（对应原图的下凸壳）这两个凸壳只有第一个点和最后一个点会是相同的。
另外，这题用KD-Tree应该也可做。。。判一下四个角就可以了= =（思维难度和代码难度好像要更优一点，额……不过用map的话代码难度也没有很高
我写KDTree的Insert的时候没有把插进来的这个点赋值
1 //Round8 A 2 #include<vector> 3 #include<map> 4 #include<cstdio> 5 #include<cstring> 6 #include<cstdlib> 7 #include<iostream> 8 #include<algorithm> 9 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i) 10 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i) 11 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i) 12 using namespace std; 13 typedef long long LL; 14 inline int getint(){ 15 int r=1,v=0; char ch=getchar(); 16 for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-1; 17 for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*10-'0'+ch; 18 return r*v; 19 } 20 const int N=1e5+10; 21 /*******************template********************/ 22 //#define debug 23 24 int n,m; 25 double ans=1; 26 typedef map<double,double> mii; 27 typedef map<double,double>::iterator iter; 28 #define X first 29 #define Y second 30 double cross(iter o,iter a,iter b){ 31 return (a->X - o->X) * (b->Y - o->Y) - 32 (a->Y - o->Y) * (b->X - o->X); 33 } 34 mii up,slop; 35 36 inline double slope(iter a,iter b){ 37 return (b->Y - a->Y)/(b->X - a->X); 38 } 39 bool inside(mii &p,double x,double y){ 40 if (!p.size()) return 0; 41 if (x<p.begin()->X || x>p.rbegin()->X) return 0; 42 if (p.count(x)) return y<=p[x]; 43 p[x]=y; 44 iter cur = p.lower_bound(x),i,j; 45 i=j=cur; i--; j++; 46 bool ret=cross(i,cur,j)>=0; 47 p.erase(cur); 48 return ret; 49 } 50 void add(mii &p,double x,double y){ 51 if (inside(p,x,y)) return; 52 if (p.count(x)){ 53 iter cur=p.lower_bound(x),i=cur,j=cur; 54 i--;j++; 55 if (cur!=p.begin()) slop.erase(slope(i,cur)); 56 if (j!=p.end()) slop.erase(slope(cur,j)); 57 } 58 p[x]=y; 59 iter cur=p.lower_bound(x),i=cur,j=cur; 60 i--; j++; 61 if (cur!=p.begin() && j!=p.end()) slop.erase(slope(i,j)); 62 if (cur!=p.begin()) slop[slope(i,cur)]=cur->X; 63 if (j!=p.end()) slop[slope(cur,j)]=j->X; 64 for(i=cur,i--,j=i,j--;i!=p.begin() && cur!=p.begin();i=j--) 65 if (cross(j,i,cur)>=0){ 66 slop.erase(slope(j,i)); 67 slop.erase(slope(i,cur)); 68 slop[slope(j,cur)]=cur->X; 69 p.erase(i); 70 } 71 else break; 72 for(i=cur,i++,j=i,j++;i!=p.end() && j!=p.end();i=j++) 73 if (cross(cur,i,j)>=0){ 74 slop.erase(slope(cur,i)); 75 slop.erase(slope(i,j)); 76 slop[slope(cur,j)]=j->X; 77 p.erase(i); 78 } 79 else break; 80 } 81 double query(double k){ 82 double x,y; 83 iter it=slop.lower_bound(k); 84 if (it==slop.end()) x=up.begin()->X,y=up.begin()->Y; 85 else x=it->Y,y=up[x]; 86 // printf("query k=%f tmpk=%f x=%f y=%f ",k,it->X,x,y); 87 return y-k*x; 88 } 89 90 int main(){ 91 #ifndef ONLINE_JUDGE 92 freopen("A.in","r",stdin); 93 freopen("A.out","w",stdout); 94 #endif 95 int type=getint(); 96 double x,y,k; 97 n=getint(); m=getint(); 98 F(i,1,n){ 99 scanf("%lf%lf",&x,&y); 100 add(up,x,y); 101 #ifdef debug 102 // for(iter it=up.begin();it!=up.end();it++) 103 // printf("%f %f ",it->X,it->Y); 104 // puts(""); 105 #endif 106 } 107 #ifdef debug 108 puts("up tu ke:"); 109 for(iter it=up.begin();it!=up.end();it++) 110 printf("%f %f ",it->X,it->Y); 111 puts(""); 112 puts("xie lv & x :"); 113 for(iter it=slop.begin();it!=slop.end();it++) 114 printf("%f %f ",it->X,it->Y); 115 puts(""); 116 #endif 117 char cmd[10]; 118 double ans=1; 119 F(i,1,m){ 120 scanf("%s",cmd); 121 if (cmd[0]=='i'){ 122 scanf("%lf%lf",&x,&y); 123 if (type==2) x=x/ans,y=y/ans; 124 add(up,x,y); 125 }else{ 126 scanf("%lf",&k); 127 if (type==2) k=k/ans; 128 printf("%.3f ",ans=query(k)); 129 } 130 } 131 return 0; 132 }
1 //Round8 A 2 #include<vector> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 #include<cstdlib> 6 #include<iostream> 7 #include<algorithm> 8 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i) 9 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i) 10 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i) 11 using namespace std; 12 typedef long long LL; 13 inline int getint(){ 14 int r=1,v=0; char ch=getchar(); 15 for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-1; 16 for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*10-'0'+ch; 17 return r*v; 18 } 19 const int N=2e5+10; 20 const double INF=1e30; 21 /*******************template********************/ 22 23 int n,m,D,p[N<<1],cnt,tot,root; 24 struct node{ 25 double d[2],mx[2],mn[2]; 26 int l,r,D,size; 27 double& operator [] (int x){return d[x];} 28 }t[N<<2],now; 29 bool cmp(int x,int y){return t[x][D]<t[y][D];} 30 31 #define L t[o].l 32 #define R t[o].r 33 #define mid (l+r>>1) 34 inline void Push_up(int o){ 35 F(i,0,1){ 36 t[o].mn[i]=min(t[o][i],min(t[L].mn[i],t[R].mn[i])); 37 t[o].mx[i]=max(t[o][i],max(t[L].mx[i],t[R].mx[i])); 38 } 39 t[o].size=t[L].size+t[R].size+1; 40 } 41 inline int build(int l,int r,int dir){ 42 D=dir; 43 nth_element(p+l,p+mid,p+r+1,cmp); 44 int o=p[mid]; 45 t[o].D=dir; 46 L=l<mid ? build(l,mid-1,dir^1) : 0; 47 R=mid<r ? build(mid+1,r,dir^1) : 0; 48 Push_up(o); 49 return o; 50 } 51 inline void dfs(int o){ 52 if (!o) return; 53 dfs(L); p[++cnt]=o; dfs(R); 54 } 55 inline void rebuild(int &o){ 56 cnt=0; dfs(o); 57 o=build(1,cnt,t[o].D); 58 } 59 inline void Insert(int &o,int dir){ 60 if (!o){ 61 o=++n; 62 F(i,0,1) t[o].mn[i]=t[o].mx[i]=t[o][i]=now[i]; 63 t[o].D=dir; t[o].size=1; 64 return; 65 } 66 if (now[dir]<t[o][dir]){ 67 Insert(L,dir^1); Push_up(o); 68 if (t[L].size>t[o].size*0.7) rebuild(o); 69 }else{ 70 Insert(R,dir^1); Push_up(o); 71 if (t[R].size>t[o].size*0.7) rebuild(o); 72 } 73 } 74 75 double ans=1; 76 inline double getans(int o,double k){ 77 if (!o) return -INF; 78 return t[o][1]-k*t[o][0]; 79 } 80 inline double calc(int o,double k){ 81 if (!o) return -INF; 82 double ans=max(t[o].mn[1]-k*t[o].mn[0],t[o].mn[1]-k*t[o].mx[0]); 83 ans=max(ans,max(t[o].mx[1]-k*t[o].mn[0],t[o].mx[1]-k*t[o].mx[0])); 84 return ans; 85 } 86 inline void query(int o,double k){ 87 if (!o) return; 88 double dl=calc(L,k),dr=calc(R,k),d0=getans(o,k); 89 ans=max(ans,d0); 90 if (dl<dr){ 91 if (dr>ans && R) query(R,k); 92 if (dl>ans && L) query(L,k); 93 }else{ 94 if (dl>ans && L) query(L,k); 95 if (dr>ans && R) query(R,k); 96 } 97 } 98 99 int main(){ 100 #ifndef ONLINE_JUDGE 101 freopen("A.in","r",stdin); 102 freopen("A.out","w",stdout); 103 #endif 104 F(i,0,1) t[i].mn[i]=INF,t[i].mx[i]=-INF; 105 t[0].size=0; 106 107 int type=getint(); 108 tot=n=getint(); m=getint(); 109 F(i,1,n) scanf("%lf%lf",&t[i][0],&t[i][1]),p[i]=i; 110 root=build(1,n,0); 111 112 char cmd[10]; double k; 113 F(i,1,m){ 114 scanf("%s",cmd); 115 if (cmd[0]=='i'){ 116 scanf("%lf%lf",&now[0],&now[1]); 117 if (type==2) now[0]/=ans,now[1]/=ans; 118 Insert(root,0); 119 }else{ 120 scanf("%lf",&k); 121 if (type==2) k/=ans; 122 ans=-INF; 123 query(root,k); 124 printf("%.3f ",ans); 125 } 126 } 127 return 0; 128 }
序列
一道很棒的题目，具体过程戳官方题解吧……
一个神奇的转化是对每一项都乘了一个$2sin(frac{k}{2})$，然后利用积化和差公式，将一个$sum$求和转化成了一个可以裂项相消，$O(1)$计算的式子……
然后就可以离散化用线段树维护了，感觉细节处理蛮厉害的。。。蒟蒻除了模板部分都只能抄标程
因为搞出来sin和cos以后就可以打tag了……且标记支持合并= =
1 //Round8 C 2 #include<vector> 3 #include<cmath> 4 #include<cstdio> 5 #include<cstring> 6 #include<cstdlib> 7 #include<iostream> 8 #include<algorithm> 9 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i) 10 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i) 11 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i) 12 using namespace std; 13 typedef long long LL; 14 inline int getint(){ 15 int r=1,v=0; char ch=getchar(); 16 for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-1; 17 for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*10-'0'+ch; 18 return r*v; 19 } 20 const int N=150010; 21 /*******************template********************/ 22 23 int n,m,num,k,c[N<<1]; 24 double sink; 25 26 struct ques{ 27 int l,r,d; 28 }q[N]; 29 30 struct node{ 31 double si,co; 32 int tag; 33 }t[N<<2]; 34 #define L (o<<1) 35 #define R (o<<1|1) 36 #define mid (l+r>>1) 37 #define lch L,l,mid 38 #define rch R,mid+1,r 39 40 void maintain(int o){ 41 t[o].si=t[L].si+t[R].si; 42 t[o].co=t[L].co+t[R].co; 43 } 44 void change(int o,int d){ 45 t[o].tag+=d; 46 double si1=t[o].si,si2=sin(d),co1=t[o].co,co2=cos(d); 47 t[o].si=si1*co2+co1*si2; 48 t[o].co=co1*co2-si1*si2; 49 } 50 void Push_down(int o){ 51 if (t[o].tag){ 52 change(L,t[o].tag); 53 change(R,t[o].tag); 54 t[o].tag=0; 55 } 56 } 57 void build(int o,int l,int r){ 58 if (l==r){ 59 t[o].si=(cos(k*c[l]-k*0.5)-cos(k*(c[l+1]-1)+k*0.5))/(2*sink); 60 t[o].co=(sin(k*(c[l+1]-1)+k*0.5)-sin(k*c[l]-k*0.5))/(2*sink); 61 }else{ 62 build(lch); build(rch); 63 maintain(o); 64 } 65 } 66 void update(int o,int l,int r,int ql,int qr,int v){ 67 if (ql<=l && qr>=r) change(o,v); 68 else{ 69 Push_down(o); 70 if (ql<=mid) update(lch,ql,qr,v); 71 if (qr>mid) update(rch,ql,qr,v); 72 maintain(o); 73 } 74 } 75 double query(int o,int l,int r,int ql,int qr){ 76 if (ql<=l && qr>=r) return t[o].si; 77 else{ 78 Push_down(o); 79 double ans=0; 80 if (ql<=mid) ans+=query(lch,ql,qr); 81 if (qr>mid) ans+=query(rch,ql,qr); 82 return ans; 83 } 84 } 85 86 int main(){ 87 #ifndef ONLINE_JUDGE 88 freopen("C.in","r",stdin); 89 freopen("C.out","w",stdout); 90 #endif 91 n=getint(); m=getint(); k=getint(); 92 sink=sin(double(k)/2.0); 93 int tot=0; 94 c[++tot]=0; c[++tot]=n+1; 95 F(i,1,m){ 96 q[i].l=getint(),q[i].r=getint(),q[i].d=getint(); 97 c[++tot]=q[i].l; c[++tot]=q[i].r+1; 98 } 99 sort(c+1,c+tot+1); 100 num=unique(c+1,c+tot+1)-c-1; 101 num--; build(1,1,num); 102 F(i,1,m){ 103 int d=q[i].d,l,r; 104 l=lower_bound(c+1,c+num+1,q[i].l)-c; 105 r=lower_bound(c+1,c+num+1,q[i].r+1)-c-1; 106 if (d) update(1,1,num,l,r,d); 107 else printf("%.10f ",query(1,1,num,l,r)); 108 } 109 return 0; 110 }