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  • BUAA_OO Unit 2 多线程电梯调度

    §4 群-环-域

    C1 半群-群

    半群

    1)二元运算(合成律):映射

    • 结合:(a*b)*c = a*(b*c)
    • 交换:a*b=b*a
    • 一般地,结合且交换二元运算使用+,结合二元运算使用*,为记法方便也常省略
    • 凯莱表:mij = ai * aj,构成的矩阵

    2)代数结构(代数系统):(X, *),*为X上二元运算

    3)半群* 运算结合,则称(X,*)为一个半群

    4)幺半群:带有单位元的半群

    • 单位元,单位元若存在则唯一
    • 幺半群基数即X的基数,若基数有限,称半群为有限幺半群
    • 特别地,称变换幺半群,其中M(Ω)为任意集合Ω上变换(即自映射)的集合

    5)子半群对二元运算封闭且包含于母群子幺半群:包含有母群单位元的子半群

    6)广义结合律:n个元素相乘(二元运算意义上)结果与加括号的方式无关

    • 二元运算满足广义结合律(归纳法)

    • 左正规化:从左到右依次加括号,

    • 方幂:xn,由结合律得 xn xm = xm+n, (xn)m = xmn

      • xy = yx,, 进一步,若,则

    7)可逆,称x可逆,称y为x的逆元,记x-1

    • (ab)-1 = b-1a-1

    8):所有元素可逆的幺半群

    • 回顾:上全体置换(双射)构成的群称为n阶对称群
    • 特别地,称可逆实矩阵集,连同矩阵乘法构成的群为n阶一般线性群

    9)阿贝尔群:交换群

    10)子群对运算封闭,含有逆元,包含于母群,若不相等,称真子群

    • 特别地,称行列式为1的实矩阵群连同矩阵乘法构成的群为n阶特殊线性群,或者单位模群,

      是n阶一般线性群的子群

    11)循环群,称a为生成元,循环群记为

      • 无限阶:
      • 有限阶:,最小正q称为阶,可证

    12)同构:存在同构映射的两个群同构,记为

    • 同构映射双射f使得,性质:

      • 逆映射存在且也是一个同构
    • 自同构:G到自身的自同构映射

      • G上自同构构成S(G)(全体双射群)的一个子群
      • 内自同构群:,元素为,是Aut(G)的一个子群,与G同态
    • 定理:任意两个同阶循环群同构

    • 定理:任意一个n阶有限群同构于n阶对称群的某个子群

      证明:

    • 无限群存在同构真子群

    13)同态:映射f使得

    • 若f是单射,称为单同态;若f是满射,称为满同态
    • 群到自身的同态映射称自同态
    • 回顾:,则符号映射,构成的一个同态 其核为一个阶群,称为交错群

    C2 环

    1):(R,+,·),满足(R,+)是阿贝尔群,(R,·)是半群,乘法对加法分配

    • 广义环研究中,可能不要求乘法群是半群,称为非结合环

    • 环的单位元:乘法半群的单位元,不一定存在

    • 称为整数环,称为全矩阵环,或n阶方阵环

    • 函数环

      • ,为X到任意环R的映射集
      • 为逐点加:
      • 为逐点乘:
      • 单位元:;零元 。均为常函数
      • 显然,有界函数环,连续函数环,可微函数环都是其子环

    2)子环:R的加法群的子群核乘法半群的子半群构成的环

    • 子环交仍是子环
    • ,同样,

    3)环的性质:

    • 广义分配律:,故
    • 若环的乘法交换,则满足牛顿二项式公式
    • 则环R中所有元素为0。故非平凡环中,

    4)剩余类环:

    • 同余式:模m余数相同称为模m同余,记为,称*同余式

    • 剩余类环

      • ,称为模m剩余类
      • :模m加法
      • :模m乘法
      • 单位元:;零元:
      • 方便起见,记w为,甚至记为
    • 模m剩余类的导出集,实际上与同构

    5)同态:存在同态映射的两个环,记为

    • 同态映射:
    • 满同态下,
    • 核:

    6)零因子:

    • ,则a称为左零因子,b称为右零因子。交换环中简称零因子。0本身称平凡零因子

    • 无零因子环:出0外无其它零影子

    • 整环:非平凡(1≠0)、无零因子、交换环

    • 定理:有单位元非平凡交换环是整环(即无零因子) iff R中消去律成立

      • 消去律:

    7)可逆:,称a右可逆,b左可逆

    • 定理:无零因子环或者交换环中,左右可逆性相同,左右逆相同

      小证:无零因子环中

    • 显然,若R是带单位元的环,则所有可逆元素构成一个乘法群

    C3 域

    1)除环(斜域):乘法满足[关于乘法构成一个群]的环。

    • 非零元素可逆
    • 没有零因子

    2)交换除环

    • 分式(商、比例式)记为

    3)子域:域P中为域的子环F,称F为子域,P为扩域

    4)同构:作为环同构

    • 同态:注意到,f一般是单同态

    5)定理:剩余类环是域 iff m是素数

    • 推论(费马小定理):(素数)则

    6)素域:不包含任何真子域的域

    • 定理:为素域。且

    • 域的特征():

      • ,则特征为0,此时P加法群中1的阶无限
      • 则特征为p,此时P加法群中任意非零元素有阶p
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/TwoBeNo-0/p/12705012.html
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