D5 LCA 最近公共祖先

第一题： POJ 1330 Nearest Common Ancestors POJ 1330

这个题可不是以1为根节点，不看题就会一直wa呀；

加一个找根节点的措施；

#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<cctype>
#include<cerrno>
#include<clocale>
#include<cmath>
#include<complex>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<exception>
#include<fstream>
#include<functional>
#include<limits>
#include<list>
#include<map>
#include<iomanip>
#include<ios>
#include<iosfwd>
#include<iostream>
#include<istream>
#include<ostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<sstream>
#include<stack>
#include<stdexcept>
#include<streambuf>
#include<string>
#include<utility>
#include<vector>
#include<cwchar>
#include<cwctype>
#define N 50010
using namespace std;
int f[N][20],d[N],dist[N],lin[N*2],b[N],root;
inline int read() {
    int s = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) { if (ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }
    while (isdigit(ch)) { s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
    return s * w;
}
struct gg
{
    int y,v,next;
}a[N<<1];
int T,n,m,tot,t;
queue<int> q;
void add(int x,int y)
{
    a[++tot].y=y;
    a[tot].next=lin[x];
    lin[x]=tot;
}
void bfs(int x)
{
    q.push(x);d[x]=1;
    while(q.size())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=lin[x];i;i=a[i].next)
        {
            int y=a[i].y;
            if(d[y]) continue;
            d[y]=d[x]+1;
            f[y][0]=x;
            for(int j=1;j<=t;j++)
                f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
            q.push(y);
        }
    }
}
int lca(int x,int y)
{
    if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
    for(int i=t;i>=0;i--)
        if(d[f[y][i]]>=d[x]) y=f[y][i];
    if(x==y) return x;
    for(int i=t;i>=0;i--)
        if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
    return f[x][0];
}
int main()
{
    T=read();
    while(T--)
    {
        memset(b,0,sizeof(b));
        memset(f,0,sizeof(f));
        queue<int> q;
        n=read();
        t=(int)(log(n)/log(2))+1;
        for(int i=1;i<=n;i++) lin[i]=d[i]=0;
        tot=0;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            int x,y,z;
            x=read();y=read();
            b[y]++;
            add(x,y);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++) 
        {
            if(b[i]==0)
            {
                root=i;
                break;
            }
        }    
        bfs(root);
        int x,y;
        x=read();y=read();
        cout<<lca(x,y)<<endl;    
    }
    return 0;
}

第二题：HDU 2586

加了边权的lca模板；

关键最近距离为dis【i】+dis【j】-2*dis【lca（x，y）】；

#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<cctype>
#include<cerrno>
#include<clocale>
#include<cmath>
#include<complex>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<exception>
#include<fstream>
#include<functional>
#include<limits>
#include<list>
#include<map>
#include<iomanip>
#include<ios>
#include<iosfwd>
#include<iostream>
#include<istream>
#include<ostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<sstream>
#include<stack>
#include<stdexcept>
#include<streambuf>
#include<string>
#include<utility>
#include<vector>
#include<cwchar>
#include<cwctype>

#define N 50010
using namespace std;
int f[N][20],d[N],dist[N],lin[N*2];
inline int read() {
    int s = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) { if (ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }
    while (isdigit(ch)) { s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
    return s * w;
}
struct gg
{
    int y,v,next;
}a[N<<1];
int T,n,m,tot,t;
queue<int> q;
void add(int x,int y,int z)
{
    a[++tot].y=y;
    a[tot].next=lin[x];
    lin[x]=tot;
    a[tot].v=z;
}

void bfs()
{
    q.push(1);d[1]=1;
    while(q.size())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=lin[x];i;i=a[i].next)
        {
            int y=a[i].y;
            if(d[y]) continue;
            d[y]=d[x]+1;
            dist[y]=dist[x]+a[i].v;
            f[y][0]=x;
            for(int j=1;j<=t;j++)
                f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
            q.push(y);
        }
    }
}
int lca(int x,int y)
{
    if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
    for(int i=t;i>=0;i--)
        if(d[f[y][i]]>=d[x]) y=f[y][i];
    if(x==y) return x;
    for(int i=t;i>=0;i--)
        if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
    return f[x][0];
}
int main()
{
    T=read();
    while(T--)
    {
        queue<int> q;
        n=read();m=read();
        t=(int)(log(n)/log(2))+1;
        for(int i=1;i<=n;i++) lin[i]=d[i]=0;
        tot=0;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            int x,y,z;
            x=read();y=read();z=read();
            add(x,y,z);add(y,x,z);
        }
        bfs();
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int x,y;
            x=read();y=read();
            cout<<dist[x]+dist[y]-2*dist[lca(x,y)]<<endl;
        }
        
    }
    return 0;
}

第三题：BZOJ 1787

对三个节点两两求LCA会有2种情况： 1 均相同:答案即为此LCA： 2 有1个LCA与其他的不同：答案为此LCA。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 500001
using namespace std;
int f[N][20],d[N],dist[N],lin[N*2],ans;
inline int read() {
    int s = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) { if (ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }
    while (isdigit(ch)) { s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
    return s * w;
}
struct gg
{
    int y,v,next;
}a[N<<1];
int T,n,m,tot,t;
queue<int> q;
void add(int x,int y)
{
    a[++tot].y=y;
    a[tot].next=lin[x];
    lin[x]=tot;
}

void bfs()
{
    q.push(1);d[1]=1;
    while(q.size())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=lin[x];i;i=a[i].next)
        {
            int y=a[i].y;
            if(d[y]) continue;
            d[y]=d[x]+1;
            f[y][0]=x;
            for(int j=1;j<=t;j++)
                f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
            q.push(y);
        }
    }
}
int lca(int x,int y)
{
    ans=0;
    if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
    for(int i=t;i>=0;i--)
        if(d[f[y][i]]>=d[x]) y=f[y][i];
    if(x==y) return x;
    for(int i=t;i>=0;i--)
        if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
    return ans=f[x][0];
}
int dis(int x,int y)
{
    int t=lca(x,y);
    return d[x]+d[y]-2*d[t];
}
int main()
{
    queue<int> q;
    n=read();m=read();
    t=(int)(log(n)/log(2))+1;
    for(int i=1;i<=n;i++) lin[i]=d[i]=0;
    tot=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        x=read();y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    bfs();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        x=read();y=read();z=read();
        int xx,yy,zz;
        int p1=lca(x,y),p2=lca(x,z),p3=lca(y,z),t;
        if(p1==p2) t=p3;
        else if(p2==p3) t=p1;
        else t=p2;
        int ans=dis(x,t)+dis(y,t)+dis(z,t);
        cout<<t<<' '<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

来自石神的代码；跑的很快，推荐；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+10;
const int inf=0x7fffffff;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;
    T f=1,ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
    if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    x*=f;
}
int ver[maxn<<1],Next[maxn<<1],head[maxn],len;
inline void add(int x,int y)
{
    ver[++len]=y,Next[len]=head[x],head[x]=len;
}
queue<int>q;
int d[maxn],f[maxn][21],vis[maxn],t;
inline void bfs(int root)
{
    q.push(root);
    d[root]=1;
    while (!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for (int i=head[x];i;i=Next[i])
        {
            int y=ver[i];
            if (d[y]) continue;
            d[y]=d[x]+1;
            f[y][0]=x;
            for (int j=1;j<=t;++j)
                f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
            q.push(y);
        }
    }
}
inline int lca(int x,int y)
{
    if (d[x]>d[y]) swap(x,y);
    for (int i=t;i>=0;--i)
        if (d[f[y][i]]>=d[x]) y=f[y][i];
    if (x==y) return x;
    for (int i=t;i>=0;--i)
        if (f[x][i]!=f[y][i])
            x=f[x][i],y=f[y][i];
    return f[x][0];
}
int main()
{
    int n,m,id,ans;read(n);read(m);
    t=log2(n*1.0);
    memset(d,0,sizeof(d));
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(head,0,sizeof(head));
    len=0;
    for (int i=1;i<n;++i)
    {
        int x,y;read(x);read(y);
        add(x,y);add(y,x);
    }
    bfs(1);
    for (int i=1;i<=m;++i)
    {
        int x,y,z;read(x);read(y);read(z);
        int l1=lca(x,y),l2=lca(x,z),l3=lca(y,z),ans=inf,tmp,id;
        int q1=lca(l1,z),q2=lca(l2,y),q3=lca(l3,x);
        tmp=d[x]+d[y]-d[l1]+d[z]-(d[q1]<<1);
        if (tmp<ans)
            ans=tmp,id=l1;
        tmp=d[x]+d[z]-d[l2]+d[y]-(d[q2]<<1);
        if (tmp<ans)
            ans=tmp,id=l2;
        tmp=d[y]+d[z]-d[l3]+d[x]-(d[q3]<<1);
        if (tmp<ans)
            ans=tmp,id=l3;
        printf("%d %d
",id,ans);
    }
    return 0;
}

第四题：UVA11354 Bond 

一类例题：LUOGU UVA 11354 最小生成树+倍增求LCA

NOIP 2013 货车运输 最大生成树+倍增求LCA

这个题：最小瓶颈树。 倍增维护边权最大值。

一份代码解决两个问题，代码注释的代码改一改；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=6e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;
    T f=1,ch=getchar();
    while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
    if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    x*=f;
}
struct Edge
{
    int x,y,z,next;
}G[maxn<<1],A[maxn<<1];//G[]是最大生成树的图
int n,m,head[maxn],len;
inline void add(int x,int y,int z)
{
    G[++len].y=y,G[len].z=z,G[len].next=head[x],head[x]=len;
}
int fa[maxn];
inline int get(int x)
{
    if (x==fa[x]) return x;
    return fa[x]=get(fa[x]);
}
inline bool cmp(Edge a,Edge b)
{
//    return a.z>b.z;
    return a.z<b.z;
}
inline void Kruskal()
{
    sort(A+1,A+m+1,cmp);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        fa[i]=i;
    for (int i=1;i<=m;++i)
    {
        int x=get(A[i].x),y=get(A[i].y);
        if (x!=y)
        {
            fa[y]=x;
            add(A[i].x,A[i].y,A[i].z);
            add(A[i].y,A[i].x,A[i].z);
        }
    }
}
int d[maxn],f[maxn][21],w[maxn][21];//fa[]表示并查集中的父节点，f[][]表示树上的父节点，w[][]表示最大载重
inline void dfs(int x)
{
    for (int i=1;i<=20;++i)//LCA初始化
    {
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
//        w[x][i]=min(w[x][i-1],w[f[x][i-1]][i-1]);
        w[x][i]=max(w[x][i-1],w[f[x][i-1]][i-1]);
    }
    for (int i=head[x];i;i=G[i].next)
    {
        int y=G[i].y;
        if (d[y]) continue;
        d[y]=d[x]+1;//计算深度
        f[y][0]=x;//储存父节点
        w[y][0]=G[i].z;//储存到父节点的权值
        dfs(y);
    }
}
inline int lca(int x, int y)
{
    if (get(x)!=get(y)) return -1;//不连通，输出-1
//    int ans=inf;
    int ans=0;
    if (d[x]>d[y]) swap(x,y);//保证y节点更深
    for (int i=20;i>=0;--i)//将y节点上提到于x节点相同深度
        if (d[f[y][i]]>=d[x])
        {
//            ans=min(ans,w[y][i]);//更新最大载重（最小边权）
            ans=max(ans,w[y][i]);
            y=f[y][i];//修改y位置
        }
    if (x==y) return ans;//如果位置已经相等，直接返回答案
    for (int i=20;i>=0;--i)//寻找公共祖先
        if (f[x][i]!=f[y][i])
        {
//            ans=min(ans,min(w[x][i], w[y][i]));//更新最大载重（最小边权）
            ans=max(ans,max(w[x][i],w[y][i]));
            x=f[x][i],y=f[y][i];//修改x,y位置
        }
//  ans=min(ans,min(w[x][0],w[y][0]));//更新此时x,y到公共祖先最大载重，f[x][0], f[y][0]即为公共祖先
    ans=max(ans,max(w[x][0],w[y][0]));
    return ans;
}
int main()
{
    int flag=0;
    while (scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
    {
        if (flag) printf("
");
        else flag=1;
        memset(f,0,sizeof(f));
        memset(w,0,sizeof(w));
        memset(d,0,sizeof(d));
        memset(head,0,sizeof(head));
        len=0;
        for (int i=1;i<=m;++i)
            read(A[i].x),read(A[i].y),read(A[i].z);
        Kruskal();
        for (int i=1;i<=n;++i)//dfs收集信息
            if (!d[i])
            {
                d[i]=1;
                dfs(i);
                f[i][0]=i;
//                w[i][0]=inf;
                w[i][0]=-inf;
            }
        int q;
        read(q);
        while (q--)
        {
            int x,y;
            read(x);read(y);
            printf("%d
",lca(x,y));
        }
    }
    return 0;
}

第五题：BZOJ 1977 【模板】严格次小生成树[BJWC2010]

luogu 4180
BZOJ 1977

先求一次最小生成树，然后枚举哪些非树边，找到以非树边两端点 在树上路径中最大的一条边，将这条边加入树，形成一个环，那么删掉 此环上的一条边，就会从新出现一棵生成树。

如何高效的去找要删去的边？

倍增LCA 倍增维护3个值，father维护LCA，f 维护路径上的最大值，g维护路 径上的严格次大值。

对于删环上的边，如果添加进来的边与环上最大值不同，那么直接 删换上最大值，如果与最大值相同，就必须删次大值。

#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <functional>
#include <list>
#include <map>
#include <iomanip>    
#include <iostream>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>
#define N 100001
#define M 300001
#define inf 0x7fffffff
#define ll long long
using namespace std;
int n,m,tot,cnt,mn=inf;
ll ans;
int father[N],lin[N],deep[N],f[N][17],d1[N][17],d2[N][17];
inline int read() {
    int s = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) { if (ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }
    while (isdigit(ch)) { s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
    return s * w;
}
void put(int x)
{
    if(x==0){putchar('0');putchar('
');return;}
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    int num=0;char ch[25];
    while(x) ch[++num]=x%10+'0',x/=10;
    while(num) putchar(ch[num--]);
    putchar('
');
}
struct data {
    int x,y,v;
    bool bl;
} a[M];
struct edge {
    int to,next,v;
} e[N*2];
bool cmp(data a,data b) {
    return a.v<b.v;
}
void add(int u,int v,int w) {
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].next=lin[u];
    e[cnt].v=w;
    lin[u]=cnt;
}
int find(int x) {
    return x==father[x]?x:find(father[x]);
}
void dfs(int x,int fs) {
    for(int i=1; i<=16; i++) {
        if(deep[x]<(1<<i))    break;
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
        d1[x][i]=max(d1[x][i-1],d1[f[x][i-1]][i-1]);
        if(d1[x][i-1]==d1[f[x][i-1]][i-1])
            d2[x][i]=max(d2[x][i-1],d2[f[x][i-1]][i-1]);
        else {
            d2[x][i]=min(d1[x][i-1],d1[f[x][i-1]][i-1]);
            d2[x][i]=max(d2[x][i-1],d2[x][i]);
            d2[x][i]=max(d2[x][i],d2[f[x][i-1]][i-1]);
        }
    }
    for(int i=lin[x]; i; i=e[i].next)
        if(e[i].to!=fs) {
            f[e[i].to][0]=x;
            d1[e[i].to][0]=e[i].v;
            deep[e[i].to]=deep[x]+1;
            dfs(e[i].to,x);
        }
}
int lca(int x,int y) {
    if(deep[x]<deep[y])    swap(x,y);
    int t=deep[x]-deep[y];
    for(int i=0; i<=16; i++)
        if((1<<i)&t)x=f[x][i];
    for(int i=16; i>=0; i--) {
        if(f[x][i]!=f[y][i]) {
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        }
    }
    if(x==y)return x;
    return f[x][0];
}
void cal(int x,int fs,int v) {
    int mx1=0,mx2=0;
    int t=deep[x]-deep[fs];
    for(int i=0; i<=16; i++) {
        if(t&(1<<i)) {
            if(d1[x][i]>mx1) {
                mx2=mx1;
                mx1=d1[x][i];
            }
            mx2=max(mx2,d2[x][i]);
            x=f[x][i];
        }
    }
    if(mx1!=v)mn=min(mn,v-mx1);
    else mn=min(mn,v-mx2);
}
void tp(int t,int v) {
    int x=a[t].x,y=a[t].y,f=lca(x,y);
    cal(x,f,v);
    cal(y,f,v);
}
int main() {
    n=read();m=read();
    for(int i=1; i<=n; i++)
        father[i]=i;
    for(int i=1; i<=m; i++)
        a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].v=read();
    sort(a+1,a+m+1,cmp);
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        int p=find(a[i].x),q=find(a[i].y);
        if(p!=q) {
            father[p]=q;
            ans+=a[i].v;
            a[i].bl=1;
            add(a[i].x,a[i].y,a[i].v);
            add(a[i].y,a[i].x,a[i].v);
            tot++;
            if(tot==n-1)break;
        }
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=1; i<=m; i++)
        if(!a[i].bl)    tp(i,a[i].v);
    printf("%lld",ans+mn);
    return 0;
}

第六题：跳跳棋

BZOJ 2144
LUOGU 1852

为了方便研究跳法，我们把棋子按坐标大小排序后设为a, b, c。

每次都有三种跳法： 1 b往左跳 2 b往右跳 3 离b近的往里跳(远的不允许跳，会越过两个棋子)

从只有两种跳法的所有状态出发，就可以到达任意一种状态。

因为 两边往中间跳实际上是一种状态的还原。 对于每一个状态(x, y, z)：中间的向外面跳为(2x − y, x, z)或 者(x, z, 2z − y),设为左结点和右结点。

所以我们就可以把题意转化一下，即第一问为两种状态是否有lca， 而第二种则是问两种状态在树上的距离。我们可以采用类似倍增的方法 跳lca，来求出答案。

首先，我们应该判断两个状态可不可以互达。

要做到这一点，实际上就是看两个状态所在树的根是不是相同就行 了。

怎么样算出这个根呢？

令b − a = d1, c − b = d2,不妨设d1 < d2，那么a, b两点可以一直向 右，每次移动d1距离，直到d2 − k × d1 ≤ d1为止，这几乎是一个取模运 算。

1 d1|d2 : 最后剩下d1距离，移动d2|d1 − 1步。

2 剩下d2 mod d1距离，移动[d1d2|
步。 而根据与其类似的辗转相除的过程的复杂度，这样计算的复杂度 是O(logd)的，这样就能很快算出根了。