基础DP（3）

• 最长公共子序列（LCS）

放题：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1159

首先，子序列是在给定序列中删去若干元素后得到的序列，例如X=（A，B，C，D，E），那么（A，B，D）就是X的子序列，那（A，B，D）是子串吗？不是，子串的元素在原序列中是连续的。给定两个序列X，Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。最长公共子序列是长度最长的子序列。

用L[i][j]表示子序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。

当Xi=Yj时，找X（i-1）和Y（j-1）的最长公共子序列，然后在尾部加上Xi（对于序列长度来说就是+1）。

当Xi≠Yj时，取X（i-1）和Yj最长公共子序列与Xi和Y（j-1）最长公共子序列的较大值。（所以输出方案时从后往前递推）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[1005][1005];
string str1,str2;

int LCS(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=str1.length();i++){
        for(int j=1;j<=str2.length();j++){
            if(str1[i-1]==str2[j-1])//因为dp[i][j]要通过dp[i-1][j-1]求出，所以i和j从1开始，比较的子序列应该时i-1和j-1
            dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;//上述的两种情况
            else
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
        }
    }
    return dp[str1.length()][str2.length()];
}
int main()
{
    while(cin>>str1>>str2){
        cout<<LCS()<<endl;
    }
    return 0;
 } 

要求输出具体方案时，同样可以用滚动数组减少空间复杂度，和0/1背包相同。

 EOF