【题解】HDU4625 JZPTREE

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题意

给定一棵 n 点的树，定义 (dis(u,v)) 为树上路径长度。对于每个点，定义 (E_u=sum_{v=1}^n dis(u,v)^k) ，其中 k 为给定数。

求每个 (E_imod 10007 (i=1sim n)) .

思路

求幂可以考虑转化成第二类斯特林数。有公式： (x^n = sum_{k=0}^n egin{Bmatrix} n \ k end{Bmatrix} x^{underline{k}}.)

从而 (E_u = sum_{v=1}^n (dis(u, v))^k = sum_{i=0}^k egin{Bmatrix} k \ i end{Bmatrix} sum_{v=1}^n (dis(u, v))^{underline{i}}.)

令 (f[u][k] = sum_{v in T_u} (dis(u, v))^{underline{k}},) (T_u) 为 (u) 为根的子树，且显然有 ((x+1)^{underline{k}} = x^{underline{k}}+kx^{underline{k-1}})

考虑求 (f[u][k].)

[f[u][k]=sum_{vin T_u} dis(u,v)^{underline{k}} =sum_{vin son(u)}sum_{win T_v}[dis(v,w)+1]^{underline{k}} ]

这时候就可以运用上述公式。

[f[u][k]=sum_{vin son(u)}sum_{win T_v} [dis(v,w)^{underline{k}}+k imes dis(v,w)^{underline{k-1}}] ]

回到 (f[u][k]) 的定义，可得到转移方程

[f[u][k]=sum_{vin son(u)} f[v][k]+k imes f[v][k-1] ]

两遍 DFS 即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+10,K=510,mod=10007;
int n,k,S[N][K],f[N][K],g[N][K];
vector<int> v[N];

void dfs1( int x,int fa )
{
        f[x][0]=1; 
        for ( int i=1; i<=k; i++ ) f[x][i]=0;
        for ( auto y : v[x] )
        {
                if ( y==fa ) continue;
                dfs1( y,x );
                f[x][0]=(f[x][0]+f[y][0])%mod;
                for ( int i=1; i<=k; i++ )
                        f[x][i]=( f[x][i]+(f[y][i]+i*f[y][i-1]))%mod;
        }
}

void dfs2( int x,int fa )
{
        if ( !fa ) for ( int i=0; i<=k; i++ ) g[x][i]=f[x][i];
        for ( auto y : v[x] )
        {
                if ( y==fa ) continue;
                g[y][0]=g[x][0];
                for ( int i=1; i<=k; i++ )
                {
                        int t1=(g[x][i]-(f[y][i]+i*f[y][i-1]))%mod;
                        int t2=( g[x][i-1]-( f[y][i-1]+(i-1)*(i-2>=0 ? f[y][i-2] : 0) ))%mod;
                        g[y][i]=( f[y][i]+( t1+i*t2) )%mod;
                }
                dfs2( y,x );
        }
}

void init()
{
        S[0][0]=1;
        for ( int i=1; i<=500; i++ )
         for ( int j=1; j<=i; j++ )
                S[i][j]=(S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*j)%mod;
}

int main()
{
        int T; scanf( "%d",&T ); init();
        while ( T-- )
        {
                scanf( "%d%d",&n,&k );
                for ( int i=1; i<=n; i++ )
                        v[i].clear();
                for ( int i=1,x,y; i<n; i++ )
                        scanf( "%d%d",&x,&y ),v[x].push_back(y),v[y].push_back(x);
                
                dfs1( 1,0 ); dfs2( 1,0 );

                for ( int x=1;x<=n; x++ )
                {
                        int res=0;
                        for ( int i=0; i<=k; i++ )
                                res=( res+S[k][i]*g[x][i])%mod;
                        printf( "%d
",(res+mod)%mod );
                }
        }
}