8.22 约瑟夫问题

题意

经典的约瑟夫问题

(n)个人标号为(0...n-1)排成一圈，由第(0)个人开始报数，报到(k)的人去世

求最后一个活下来的人是谁

解法

解法(0)：模拟算法(O(n^2))

链表模拟删除即可

入门题

解法(1)：线性算法(O(n))

int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)	res = (res + k) % i;
return res;

线性算法实际上是一个倒推的过程

从(0)开始数(k)个数，死的人的相对编号是(k-1)，于是新的起点由(k)开始

那么得到的答案为了还原就需要加上(k)，为了避免超过长度，模掉一个(i)即可

解法(2)：对数算法(O(klog n))

int josephus(int n, int k) {
    if (n == 1)	return 0;
    if (k == 1)	return n - 1;
    if (k > n)	return (josephus(n - 1, k) + k) % n;
    int res = josephus(n - n / k, k);
    res -= n % k;
    if (res < 0)
        res += n;
    else 
        res += res / (k - 1);
    return res;
}

同样也是计算出规模更小的子问题之后还原

当我们计算出以(k)为起点长度为(n-1)的子问题的答案后，我们需要把它还原为以(0)为起点长度为(n)的问题的答案

可以画个图来理解

首先将答案减去(n\%k)，还原至起点为(0)

如果此时答案(<0)，说明它并没有跨过任意一个被删除的人，直接(+n)即可（相当于模掉一个(n)）

否则加上其跨过的所有被删除的人，以(k-1)为一段，每一段添加一个