伯努利数简单学习笔记

伯努利数

• 【百度百科:里面有很多应用】

定义与公式

我们常用$B_i$定义第$i$个伯努利数。

生成函数定义方式：
$frac{z}{e^z-1}=sumlimits_{n=0}^infty B_nfrac{z^n}{n!}$
这里的$zin C$（$C$为复数域）
由于伯努利数是指数型函数的母函数，所以我们对$e^x$进行泰勒展开即可得到。

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前$9$项伯努利数：
$B_0=1 B_1=-frac{1}{2} B_2=frac{1}{6} B_3=0 B_4=-frac{1}{30} \ B_5=0 B_6=frac{1}{42} B_7=0 B_8=-frac{1}{30} B_9=0$

我们不难发现对于$B_n$，当$B_n$为奇数且不为$1$时，$B_n=0$

其中有些时候定义$B_1=frac{1}{2}$，那么对应的生成函数只需改为$frac{ze^z}{e^z-1}$即可。

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递归定义方式：
$B_n=[m=0]-sumlimits_{k=0}^{m-1} binom{m}{k}frac{B_k}{m-k+1}$
边界为$B_0=1$，$[m=0]$表示当$m=0$时为$1$，否则为$0$。

简单应用

• 自然数幂的前缀和

$sum_{i=1}^ni^k=frac{1}{k+1}sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^iB_{k+1-i}(n+1)^i$

• 特殊的公式
  $sum_{k=0}^{n}C_{n+1}^kB_k=0$

$B_n=-frac{1}{n+1}(C_{n+1}^0B_0+C_{n+1}^{1}+cdots +C_{n+1}^{n-1}B_{n-1})$

我们将生成函数的公式继续变形得到：

$=frac{z}{sum_{i=1}^{infty}frac{z^i}{i!}} \ =frac{1}{sum_{i=0}^{infty}frac{z^i}{(i+1)!}}$
最后就变成了多项式$sum_{i=0}^{infty}frac{z^i}{(i+1)!}$的逆元了，用多项式求逆（NTT）即可在$O(nlogn)$的时间内预处理前$n$项。

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参考：

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