差分约束学习笔记

差分约束

引入

对于一个序列{x1,x2,x3,⋯,xn}$\{x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n\}$，我们得知关于它的一系列不等式，形如x1−x2≤ki$x_1-x_2\le k_i$，然后我们可以求出一些东西，例子如下：

• xn−x0$x_n-x_0$的最大最小值。

• 一个合法的x$x$序列。

• 等等等

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对于上述问题，我们有什么好的解决方法呢？

我们可以观察学过的一个算法，最短路算法中的松弛操作：

dis[u]+w(u,v)≤dis[v]$$dis[u]+w(u,v)\le dis[v]$$

（其实应该是<，为了方便理解加了等号。）
将其变形可以得到:

dis[u]−dis[v]≤−w(u,v)$$dis[u]-dis[v]\le -w(u,v)$$

这时我们可以将dis[a]$dis[a]$看作xa$x_a$，−w(a,b)$-w(a,b)$看作xa−xb≤ki$x_a-x_b\le k_i$中的ki$k_i$，那么这个是不是正好照应了我们的不等式关系？

那么我们可以将其转换为一条有边权的有向边，然后通过SPFA（因为大多数有负权）跑最短路或者最长路就可得到答案。

后期更新。。。。。。