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  • 斜率优化学习

    斜率优化

    从入门到提高到放弃


    今天本来说复习计算几何的凸包(顺便学一下动态凸包),结果教练给我们的凸包题目全是用凸包来优化DP的,汗-_-||,开始还行吧,结果越到后面越懵逼……


    • 斜率怎么用来做优化?

      因为许多的DP都是一个方程,而DP一般都是求解最优值,也就是最大或最小等等,大多形如:

      dp[i]=max/min{j=1j<i{dp[j]+calc(i,j)}

      最初都是O(n2)的复杂度,但是我们可以令两个值j,k,并假设从j转移到i比从k转移到i更优秀,于是便可以得到一个不等式,dp[j]+calc(i,j)<dp[k]+calc(i,k)(这里假设求最小值),然后移项整理合并就可以得出一个类似于如下式子的关系:

      (dp[j]dp[k]+calc(i,j)calc(i,k)<0

      然后我们选择一个跟i有关的项作为斜率,式子就变成了:

      dp[j]dp[k]+(etc)<i(etc)

      上面这是第一种(应该好理解吧),下面一种就是从坐标系来分析。
      我们写出DP转移方程并化为类似的直线方程,如y=kx+b,那么我们一般将要求的答案放到b,然后就转换成求该直线(也就是截距式)的纵截距的最值(纵截距也就是b的值)。然后就还是凸包搞了。

      然后又分为了大体三种情况:

      1. 第一种:就是斜率是随着x,y的单调变化而单调的,这种最简单,根据具体情况一个优先队列维护一个凸壳就可以解决啦。
      2. 第二种:就是我们令式子其中的两个与jk有关的式子为x,y,在斜率中有一个是单调的,那么另一个就可以二分查找,还是一个类似与单调队列的东西,只不过每次取队首变成了在之前的部分二分查找最优解。
      3. 第三种:也是想让人放弃的一种x,y都不单调,没啥规律,那么只有动态维护凸壳(有时会是两个凸壳),朴素的在线做法为treap或者splay(或者直接用STL的map或set)维护凸包,然后查询最优解。如果不强制要求在线,那么神奇的CDQ分治就可以派上用场啦,用归并的思想,因为有时一般求dp[i]时只会用i1之前的,那么分治归并,先按照第一关键量的要求排序,然后递归处理第二关键量,(这里的第一第二关键量一般就是x,y了),递归l,r区间的时候先处理(l,mid)的情况,然后将影响转移到(mid+1,r),然后再处理(mid+1,r),一般O(nlog2n)的时间就能解决了。(个人认为数据结构难写但好理解,而CDQ代码量少多了,但不太好理解)。

    题目表(由简单到上天入地)

    Good 文章

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/VictoryCzt/p/10053445.html
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