论文提出可变形卷积核(DK)来自适应有效感受域，每次进行卷积操作时都从原卷积中采样出新卷积，是一种新颖的可变形卷积的形式，从实验来看，是之前方法的一种有力的补充。
来源：晓飞的算法工程笔记 公众号
论文: Deformable Kernels: Adapting Effective Receptive Fields for Object Deformation
Introduction
传统的卷积由于存在硬性的规则，在对于物体放大或旋转时，不能作出适应性的改变，而可变形卷积则通过改变输入的采样位置来进行适应性的改变，即改变理论感受域。但理论感受域并不能度量像素对输出的贡献，相比理论感受域，更重要的是有效感受域(ERF)，通过计算输出对应输入的偏导获得(与卷积权重相关)，改变理论感受域只是改变有效感受域的一种手段。
为此，论文提出可变形卷积核(Deformable Kernels, DK)，用于进行可变形建模的新型卷积操作，在推理时根据输入直接生成新的卷积核来改变有效感受域。如图d，DK学习卷积核的偏移来对原卷积进行重新采样，而不改变输入数据。从实验结果来看，DK对分类任务和检测任务都十分有效，结合旧的可变形卷积方法能产生更好的结果。
Approach
对有效感受域概念不感兴趣的可以直奔后面对可变形卷积核的描述，前面有效感受域的介绍不影响后面内容。
A Dive into Convolutions
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2D Convolution
大小为$K imes K$，stride为1的二维卷积操作如公式1，输出为目标区域像素与卷积核乘积的和，$mathcal{K}=[-K/2,K/2]^2$。
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Theoretical Receptive Field
卷积层单个输出相对于上一层的输入的感受域大小为卷积核大小$K imes K$，当卷积层叠加起来时，单个输出的对应的隔层感受域也会因此而叠加，得到的叠加区域即理论感受域，与卷积核大小$K$和网络深度$n$线性相关。
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Effective Receptive Field
由于卷积的叠加以及非线性激活的引入，理论感受域内的像素对输出的贡献各不相同，可以使用有效感受域(ERF)来度量区域内每个像素对输出的影响，通过计算输出对应像素值的偏导得到，具体可以看参考论文。
Analysis on Effective Receptive Fields
这里主要分析如何根据输入和一系列卷积来计算有效感受域，先分析线性卷积网络的情景，再拓展到非线性卷积网络。
对于线性卷积网络，给定$I^{(0)}$为输入图片以及stride为1的$K imes K$卷积权重合集${W{(s)}}_{s=1}n$，公式1可以展开为公式2，特征图$I$和卷积权重$W$的上标以及卷积核位置$k$的下标为层数$sin [1, n]$。
根据ERF的定义，输出坐标$j$对应输入坐标$i$的有效感受域值$mathcal{R}^{(n)}(i;j)=partial I_j^{(n)} / partial I_i{(0)}$计算为公式3，$Bbb{1}[cdot]$为指示函数。公式3的意义为所有从$i$到$j$的路径的权重和，权重的计算为卷积核权重的累积，有效感受域值跟输出的采样位置$j$、卷积核位置$k$以及卷积核权重${W{(s)}}$有关。
假设将第$m$个卷积核$W^{(m)}$替换为$1 imes 1$卷积核$W_{ ilde{k}_m}{(m)}$，ERF的计算会变为公式4，$S=[1,n]$ $m$即不包含$m$层，这里每条路径权重直接乘上$W_{ ilde{k}_m}{(m)}$，因为$m$层只有一个路径，符合指示函数的路径必定包含$k_m$。
$K imes K$卷积可以看成分散在矩形区域内的$K^2$个$1 imes 1$卷积，因此，公式3可以改写成公式5，将$m$层的$K imes K$卷积看成多个$1 imes 1$卷积，相对的输出位置也要进行相应的修改(这里应该为$j-k_m$比较合适)。
对于复杂的非线性卷积，在公式1中加入ReLU激活得到公式6，即每层卷积都接激活函数。
非线性版本的有效感受域值计算为上式，因子$mathcal{C}$使得ERF值变成与数据相关，实际中的有效感受域是不规则的形状，包含许多不规则分布的零值。
需要注意，公式4和公式5的计算是线性的，使得有效感受域值计算能与内核的线性采样操作兼容，比如使用双线性插值获得小数位置的内核值，即可以认为内核采样等对数据进行线性ERF采样(ERF与输出的采样位置$j$、卷积核位置$k$以及卷积核权重${W^{(s)}}$有关)，这种兼容性也可以相似地推广到非线性的情况下。基于以上的分析，论文提出可变形卷积核(Deformable Kernels, DK)。
Deformable Kernels(DK)
DK添加了可学习的核偏移值，使得输出的计算从公式1变为公式7，ERF的计算也变成了与核偏移值相关的公式8。由于偏移值通常包含小数，使用双线性插值来计算偏移后的值。
原卷积核的大小称为score size，一般DK对scope size是没有约束的，即可以从大小为$K{'}$的原卷积中采样出$K2$的新卷积，然后用于大小为$K^2$区域上。这样网络能够尽可能使用更大的原卷积而不会带来太多的额外计算，论文最大的原卷积为$9 imes 9$。
如图2，DK有两种实现形式，全局模式和局部模式，$mathscr{G}$为可学习的核偏移值生成器，将输入块转换为内核的偏移值：
- 全局模式$mathscr{G}_{global}$的实现为global average pooling层+全连接层，分别用于降维以及输出$2K^2$个偏移值。
- 局部模式$mathscr{G}_{local}$的实现为与目标卷积大小一样的卷积操作，输出为$2K2$维，最终输出为$2K2 imes 1 imes 1$。
全局模式更关注整体图片，根据整图进行核偏移，而局部模式则更关注图片的局部区域，对于小物体，生成形状特别的核(值差异大)，从而使得ERF更密集，而对于大物体，生成较扁平的核(值差异小)，使得ERF更广阔。一般情况下，局部模式的自由度更高。
Computation Flow of Deformable Kernels
图5展示了局部DK的计算示意图，偏移值生成器根据输入生成偏移值，将目标卷积的点均匀平铺在原卷积中，然后根据偏移值进行偏移，使用双线性插值计算偏移后的权重更新目标卷积，最后使用目标卷积对输入进行卷积输出。
前向时，给予原卷积$W$和学习到的卷积核偏移${ Delta k }$，结合双线性插值$mathcal{B}$生成目标卷积$W^{'}$，然后使用目标卷积对输入进行常规的卷积输出。
DK的反向传播需要生成3种梯度：
- 前一层特征图的梯度
- 当前层原生卷积的梯度
- 当前层偏移值生成器的梯度
前两种的计算方法与普通的卷积一样，第三种则使用公式13结合双线性插值的计算方法。
Link with Deformable Convolutions
DK的核心是学习适应输入的偏移值来原卷积进行采样，从而达到可变形的目的，整体思想可能与可变形卷积类似。
可变形卷积的计算如公式9，主要是对数据进行偏移，而有效感受域则为公式10。如前面说到的，有效感受域与输出的采样位置以及卷积核位置有关，这在一定程度上了解释可变形卷积为何适用于学习形状多变的目标。
假设同时对数据和核进行偏移，输出的计算以及有效感受域的计算如公式11，尽管两种方法的目的是类似的，但在实际中发现，两种方法协作能够带来很好更好的效果。
Experiments
实验主要针对深度卷积(depthwise convolutions)进行优化，内核偏移不能超过越过score size。基础模型为ResNet-50-DW和MobileNetV2，对比实验加入条件卷积(Conditional Convolutions)和可变形卷积(Deformable Convolutions)的对比。
Image Classification
Object Detection
What do Deformable Kernels Learn?
将MobileNet-V2的最后一层卷积进行t-SNE降维得到可视化结果，点的颜色为类别(10类)或bbox尺寸(10等分)，对比DK和条件卷积，条件卷积学习到语义相关的特征，而DK则学习到尺寸相关的特征，这解释了前面的实验两种方法同时使用效果更好。
对不同的卷积的有效感受域进行了可视化，可变形卷积与DK都能产生类似的适应ERF，但可变形卷积倾向于更广阔的响应，DK则倾向于集中在物体内部，两者结合效果最佳。
CONCLUSION
论文提出可变形卷积核(DK)来自适应有效感受域，每次进行卷积操作时都从原卷积中采样出新卷积，是一种新颖的可变形卷积的形式，从实验来看，是之前方法的一种有力的补充。
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