积性函数的线性求法

首先我们来了解一下积性函数的定义。

(forall x,y)满足(gcd(x,y)=1)，有(f(xy)=f(x)f(y))的数论函数称为积性函数。若(forall x,y)均有(f(xy)=f(x)f(y))，则称为完全积性函数。

然后我们要理解线性素数筛。

void getP(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!notP[i]) P[++cntP]=i;
        for(int j=1;j<=cntP&&i*P[j]<=n;j++)
        {
            notP[i*P[j]]=true;
            if(i%P[j]==0) break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cntP;i++) printf("%d ",P[i]);
}

if(i%P[j]==0) break;保证了每个数只会被其最小的质因子筛掉一次，所以复杂度为(O(n))。用反证法证明：假设(x)最小的质因子为(p_0)，而(x)是被(i imes p_j(p_j>p_0))筛掉的，那么必然有(p_0|i)，在循环到(j)之前已经break了，矛盾。

那么接下来我们就可以来看线性求积性函数的代码了，这里以欧拉函数(varphi(n))为例。

void getF(int n)
{
    f[1]=1,p1[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!notP[i])
        {
            P[++cntP]=i;
            for(lint j=i;j<=n;j*=i) f[j]=j-j/i,p1[j]=j;    //1
        }
        for(int j=1;j<=cntP&&i*P[j]<=n;j++)
        {
            int x=i*P[j]; notP[x]=true;
            if(i%P[j]) f[x]=f[i]*f[P[j]],p1[x]=P[j];
            else {f[x]=f[i/p1[i]]*f[p1[i]*P[j]],p1[x]=p1[i]*P[j]; break;}
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",f[i]); puts("");
}

将正整数(x)表示为(prod_{i=1}^k p_i^{q_i})的形式，其中(p_i)是递增的。
(cntP)与(P[N])存储质数，(f[x])记录函数的值，(p1[x])记录(x)的(p_1^{q_1})。
主要分析13，14行。
if(i%P[j]) f[x]=f[i]*f[P[j]],p1[x]=P[j]; 因为(igeq P_j)且(i mod P_j eq 0)，所以(gcd(i,P_j)=1)，(f(icdot P_j)=f(i)f(P_j))；(P_j)是(icdot P_j)最小的质因子且只有一个，所以(p1[icdot P_j]=P_j)。
else {f[x]=f[i/p1[i]]*f[p1[i]*P[j]],p1[x]=p1[i]*P[j]; break;}易知(f(xcdot p_1)=f(dfrac{x}{p_1^{q_1}})f(p_1^{q_1+1}))，而(P_j)恰是(i)的(p_1)；(icdot P_j=p_1 prod_{t=1}^k p_t^{q_t}=p_1^{q_1+1}prod_{i=2}^k p_i^{q_i})，所以(p1[icdot P_j]=p_1^{q_1+1}=p1[i]cdot P_j)。本行的break和素数筛一样保证了复杂度为(O(n))。
不过当(x=p_1^{q_1})时无法使用这个公式，所以要将注释1处的代码替换掉。