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求所有对于方程$$z=left lfloor frac{x}{2} ight floor+y+xy$$不存在正整数解((x,y))的(z)中，第(n)小的(z)。答案对(10^9+7)取模。

Solution

(left lfloor dfrac{x}{2} ight floor)看起来很烦，来把它去掉。
(x)为奇数时，原方程可化为(2z+2= (2y+1)(x+1))，其中(2y+1)是奇数，(x+1)是偶数。也就是说，(z)有解(Leftrightarrow 2z+2)可以表示为奇数(非(1))与偶数的积。那么(2z+2)就不能含有任何的奇数质因子，只能是(2)的若干次幂，这是(z)无解的必要条件。
(x)为偶数时，原方程可化为(2z+1= (2y+1)(x+1))，其中(2y+1)是奇数，(x+1)是奇数。也就是说，(z)有解(Leftrightarrow 2z+1)可以表示为奇数(非(1))与奇数(非(1))的积。那么(2z+1)作为一个奇数却不能表示成两个奇数的积，那么它只能是一个奇质数。这是(z)无解的另一个必要条件。
总结一下，(z)无解(Leftrightarrow 2z+2=2^k, 2z+1)为质数(Leftrightarrow 2z+1=2^k-1)且为质数
形如(2^k-1)的素数称为梅森素数(Mersenne prime)，目前仅发现50个梅森素数，最大的是(2^{77232917}-1)，有(23249425)位数。百度一下即可（摔！！！！！题解就是叫你上网查！！！！！）

Prime numbers like (2^{a-1}) are Mersenne primes. Only about 46 such numbers are found now. Powers of 2 for the firts 40 numbers you can find for example here.

Code

//Unsolvable
#include <cstdio>
typedef long long lint;
lint const H=1e9+7;
int p[50]={0,2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213,19937,21701,23209,44497,86243,110503,132049,216091,756839,859433,1257787,1398269,2976221,3021377,6972593,13466917,20996011,24036583,25964951,30402457,32582657,37156667};
int m[50]={0,1,3,15,63,4095,65535,262143,73741816,536396503,140130950,487761805,319908070,106681874,373391776,317758023,191994803,416292236,110940209,599412198,383601260,910358878,532737550,348927936,923450985,470083777,642578561,428308066,485739298,419990027,287292016,202484167,389339971,848994100,273206869,853092282,411696552,876153853,90046024,828945523,697988359,761934284,490117835,345345628,545328622,969088513};
int main()
{
    int n; scanf("%d",&n);
    printf("%d
",m[n]);
    return 0;
}

P.S.

自己上网查是什么鬼啊！！！！！