最大公约数&最小公倍数

最大公约数

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

最小公倍数

两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。

性质

          gcd(a,b)=gcd(b,a) 

          gcd(-a,b)=gcd(a,b)

          gcd(a,a)=|a|

          gcd(a,0)=|a|

          gcd(a,1)=1

          gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)

          gcd(a,b)=gcd(b, a-b)

          gcd(ab,m)=gcd(a,m) * gcd(b,m)

          gcd(ma,mb)=m * gcd(a,b)     gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)

          gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m (m是a和b的最大公约数)

          gcd(a, b) * lcm(a, b) = ab

          gcd(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^(gcd(m,n))-b^(gcd(m,n))

          gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))

          lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))

实现

穷举

辗转相减

void gcd(int x,int y)  //非递归
{
  int m=x,n=y,z;
  if(x<y) swap(x,y);
    while(x!=y)
  {
        z=x-y;
        x=y;
        y=z;
    }
  printf("最大公约数为：%d
",y);
  printf("最小公倍数是: %d
",m*n/x);  
}
int gcd(int a,int b)  //递归
{
    if(a==b)return a;
    return a>b?gcd(a-b,b):gcd(b-a,a);
}

欧几里得

void gcd(int x,int y) //非递归
{  
  int z,m=x,n=y;   
  while(y)  
  {  
    z=x%y;  
    x=y;  
    y=z;  
  }  
  printf("最大公约数是: %d
",x);  
  printf("最小公倍数是: %d
",m*n/x);  
}  

int gcd(int x,int y) {return (!y)?x:gcd(y,x%y);} //递归