逆元

意义

若有  ，则x为a在模p下的逆元。

一个分数是不能直接模运算的，但是可以进行乘法运算  

实现

欧拉定理

由欧拉定理得，若gcd(a,p)=1，则

得到，所以，为a在模p下的逆元。

费马小定理

对于质数p，若gcd(a,p)=1,则

得到  ，是a在模p下的逆元，直接快速幂求解即可。

扩展欧几里得

由 ，可以得到 ，所以，，用扩欧求x,y即可。

阶乘逆元

因为

所以 ->  -> 

代码

void getinv() //fac[i]为i的阶乘
{
  fac[1]=inv[0]=1;
  for(int i=2;i<=n;++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
  inv[n]=quick_pow(fac[n],mod-2);
  for(int i=n-1;i;--i)
    inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}

1 - n 逆元

代码

void getinv()
{
  inv[0]=inv[1]=1;
  for(int i=2;i<=n;++i)
   inv[i]=inv[p%i]*(p-p/i)%p;
}