【BZOJ4321】queue2【dp】

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题目描述

(n) 个沙茶，被编号 (1~n)。排完队之后，每个沙茶希望，自己的相邻的两人只要无一个人的编号和自己的编号相差为 (1)（(+1) 或(-1)）就行；

现在想知道，存在多少方案满足沙茶们如此不苛刻的条件。

输入格式

只有一行且为用空格隔开的一个正整数 (N)。

输出格式

一个非负整数，表示方案数对 7777777 取模。

样例

样例输入

4

样例输出

2

样例解释

有两种方案 (2 4 1 3) 和 (3 1 4 2)

数据范围与提示

对于(30\%)的数据满足(Nleqslant 20)

对于(100\%)的数据满足 ;(1leqslant N leqslant 10^4)

分析

这种带有这种限制的 (dp) 题，我们通常的状态定义就是前 (i) 以 (j) 结尾的方案数是多少，但是这个题并不能这样写，因为下一个放置的人的编号会影响当前放置编号后的状态，所以我们换一个思路：

定义 (f[i][j][0/1]) 表示向序列中插入元素 (i) ，当前有 (j) 对两两之间相差一的人， (0/1)表示当前插入的 (i) 是否和 (i-1)挨着，那么由于第三维的不确定性，我们需要考虑两个状态转移。

首先看 (f[i][j][1]) 的转移，因为 (f[i][j][1]) 表示当前插入 (i) 后有 (j) 对编号相差一的，因为这里表示插入后 (i) 和 (i-1) 是相邻的，所以只可能从 (j-1) 对或者 (j) 对转移来。当 (i-1) 与 (i-2) 相邻的时候，也就是第三维是 (1) ，这时候会有两种能转移来的方案：

一个是从 (f[i-1][j][1]) 转移来，这时候我们只需要把 (i)插入到 (i-1) 与 (i-2) 中间就行。

还有一个是从 (f[i-1][j-1][1]) 转移来，我们只需要在 (i-1) 不和 (i-2) 挨着的那一侧插入 (i) 即可。

然后考虑第三维是 (0) ，这时候只可能从 (f[i-1][j-1][0]) 转移来，因为要求 (i) 和 (i-1) 必须相邻，这时候 (i-1) 与 (i-2) 是不相邻的，所以我们有两种插入方法，在 (i-1) 左侧和右侧。那么这个转移方程就是：

[f[i][j][1] = f[i-1][j][1] + 2 imes f[i-1][j-1][0] + f[i-1][j-1][1] ]

然后就是 (f[i][j][0]) 的转移，当前如果 (i) 和 (i-1) 不相邻，那么只可能让 (j) 不变或者减小，所以上一个的 (j) 只可能是 (j) 和 (j+1) 。

首先考虑从 (f[i-1][j+1][0]) 的转移 这时候只需要在 (j+1) 段中任意插入个 (i) 就成了 (f[i][j][0]) ，而这时候有 (j+1) 种，也就是 (f[i-1][j+1][0] imes (j+1))。

然后是 (f[i-1][j+1][1]) 这时候不能插入到 (i-1) 和 (i-2) 的这一段中，所以情况有 (j) 种，也就是 (f[i-1][j+1][1] imes j)

然后分析上一次也有 (j) 对的情况，如果挨着，即(f[i-1][j][1])，那么可以在除了这些对之外的位置放，一共有 (i-j-2) 种，因为也可以在 (i-1) 和 (i-2) 之间放，所以有 (i-j-1) 种，不挨着的情况与这个类似，只不过只能在这些对之外的地方放，那么状态转移方程就是：

[f[i][j][0] = f[i-1][j+1][0] imes (j+1) + f[i-1][j+1][1] imes j + f[i-1][j][1] imes (i-j-1) + f[i-1][j][0] imes (i-j-2) ]

代码

#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 1000+10;
const int mod = 7777777;
ll f[maxn][maxn][2];
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	f[2][1][1] = 2;
	for(int i=3;i<=n;++i){
		for(int j=0;j<i;++j){
			f[i][j][0] = (f[i-1][j+1][0] * (j+1) + f[i-1][j+1][1] * j + f[i-1][j][1] * (i-j-1) + f[i-1][j][0] * (i-j-2))%mod;
			if(j)f[i][j][1] = (f[i-1][j][1] + 2 * f[i-1][j-1][0] + f[i-1][j-1][1])%mod;
		}
	}
	printf("%lld
",f[n][0][0]);
	return 0;
}