乘法逆元

hdu5976我的博客==

在一些题目中题目可能会要求一个乘积对MOD一个大数取余输出，给个例子hdu5976

在这道题目中我们用到了前缀乘预处理，降低时间复杂度，但在预处理的时候，会发现可能乘积会爆long long,那么怎么办

 这时我们这么干 f[i]=(f[i-1]*i)%MOD;

而且在这道题中，我们最后要f[i]/i*k再取余，除法取余是不好取的，乘法的话就是(a*b)%MOD==a%MOD*b%MOD;

如果用乘法逆元就可以把除法转换成乘法，除一个数就是乘以它的逆元，但要注意我们这里逆元是相对于MOD的

定义：
满足b*k≡1 (mod MOD)   即b*k%MOD==1%MOD==1的k值就是b关于MOD的乘法逆元。

证：

根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1。
k=(p*x+1)/b。
把k代入(a*k) mod p，得：
(a*(p*x+1)/b) mod p
=((a*p*x)/b+a/b) mod p
=[((a*p*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
=[(p*(a*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
//p*[(a*x)/b] mod p=0

这里的p就是MOD，直接把别人的证明搬来了==

(a/b)%MOD==(a*k)%MOD

可以把k看做是b在MOD环境下的倒数

求逆元的公式

inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD

递推求逆元

inv[1]=1;//1的逆元显然是1

for(i=2;i<n;i++)

inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD