参考的博客：http://blog.csdn.net/guhaiteng/article/details/52123385
1欧几里得扩展求逆元
乘法逆元
对于缩系中的元素，每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x，使得ax≡1(mod n) 一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,n)=1，此时逆元唯一存在 逆元的含义：模n意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。
给定模数m，求a的逆相当于求解ax=1(mod m)
这个方程可以转化为ax-my=1
我们要求的是x，那么根据欧几里得扩展化为ax-my=gcd(a,m)的方程求一组解（x,y）
而如果gcd(a,m)==1才有逆元，否则没有
下面我们来证明一个结论：gcd(a,b)==gcd(b,a%b);//这也是辗转相除法求最大公约数的根本
我们再引入扩展欧几里得定理：
定理：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，
gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在无数组整
数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
所以我们可以得出：
a*x1+b*y1==gcd(a,b); b*x2+(a%b)*y2==gcd(a,b); ==> a*x1+b*y1==b*x2+(a%b)*y2;
a*x1+b*y1==b*x2+a*y2-k*b*y2; ==> a*x1+b*y1==a*y2+b*(x2-k*y2);
x1=y2;
y1=x2-k*y2;
我们要求的逆元是x1，怎么求？
我们很容易知道
an*xn+0*yn=gcd(an,0)==an; xn=1; yn=0;
所以用xn,yn倒推出x1,y1;
公式为：
x(n-1)=yn;
y(n-1)=xn-k*yn;
下面是代码实现：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 using namespace std; 4 int exGcd(int a,int b,int &x,int &y) 5 { 6 if(b==0) 7 { 8 x=1;y=0; 9 return a; 10 } 11 int r=exGcd(b,a%b,x,y); 12 int t=x; 13 x=y; 14 y=t-a/b*y; 15 //printf("%d ",x); 16 return r; 17 } 18 int main() 19 { 20 int x,y;int mod=15,a=14; 21 if(exGcd(a,mod,x,y)==1) 22 { 23 while(x<0)x+=mod; 24 printf("%d ",x); 25 } 26 else 27 printf("xx "); 28 return 0; 29 }
x+=mod是因为求出的x可能小于0
2.费马小定理：
在模为素数p的情况下，有费马小定理 a^(p-1)=1（mod p） 那么a^(p-2)=a^-1(mod p) 也就是说a的逆元为a^(p-2)
而在模不为素数p的情况下，有欧拉定理 a^phi(m)=1（mod m） (a⊥m，a和m互质) 同理a^-1=a^(phi(m)-1)
因此逆元x便可以套用快速幂求得了x=a^(phi(m)-1)
但是似乎还有个问题？如何判断a是否有逆元呢?
检验逆元的性质，看求出的幂值x与a相乘是否为1即可
PS:这种算法复杂度为O（log2N）在几次测试中，常数似乎较上种方法大
当p比较大的时候需要用快速幂求解
代码实现：
1 typedef long long ll; 2 ll pow_mod(ll x, ll n, ll mod){ 3 ll res=1; 4 while(n>0){ 5 if(n&1)res=res*x%mod; 6 x=x*x%mod; 7 n>>=1; 8 } 9 return res; 10 }