跳

试题描述

 

Robot X喜欢在各种各样空间内跳。
现在，Robot X来到了一个二维平面。在这个平面内，如果Robot X当前跳到了(x,y)，那么他下一步可以选择跳到以下4个点：(x-1,y),(x+1,y),(x,y-1),(x,y+1)。
而每当Robot X到达一个点，他需要耗费一些体力，假设到达(x,y)需要耗费的体力用 C(x,y)表示。    
对于C(x,y)，有以下几个性质：
1 、若x=0或者y=0，则C(x,y)=1。
2 、若x>0且y>0，则C(x,y)=C(x,y-1)+C(x-1,y)。
3 、若x<0且y<0，则C(x,y)=无穷大。
现在，Robot X想知道从(0,0)出发到(N,M)，最少花费多少体力（到达(0,0)点花费的体力也需要被算入）。   
由于答案可能很大，只需要输出答案对10^9+7取模的结果。

输入

读入两个整数N，M，表示Robot X想到达的点。

输出

输出仅一个整数，表示Robot X需要花费的最小体力对10^9+7取模的结果。

输入示例

1 2

输出示例

6

其他说明

对于 100% 的数据，满足    0<=N, M<=10^12   ，N*M<=10^12。

思路：

        这个题贪心的思路应该比叫好想，因为，越往第一象限深处走，花费的体力越多，所以我们肯定要尽可能多的在坐标轴上走，尽可能少的在象限里走，这样路线就出来了。

        关键是如何求这个路线，首先第一部分肯定是max（m，n），然后观察可以发现象限里的每一个点都等于c（x + y，x），这样第二部分的答案就应该是：c(max(m，n) + 0，0) + c(max(m，n) + 1，1) + c(max(m，n) + 2，2) + c(max(m，n) + 3，3) + …… + c(max(m，n) + min(m，n)，min(m，n)；

        根据组合数的的一些性质上式可以合并为c(m + n + 1，min(m，n))； 

        这样我们的答案就变成了max(m，n) + c(m + n + 1，min(m，n))；(%1000000007)；但是m，n特别大，而且是除法，所以再用费马小定理求个乘法逆元搞一下就好了。

C++程序：

#include <iostream>

using namespace std；


long long m, n;
long long ANS, a, b, x, y, js, js1;
long long c = 1000000007, p, ans, ans2;
long long zuhe(long long a, long long b){
    ans = 1;
    p = 1;
    for(long long i = a; i >= max(b, a - b) + 1; --i){ 
       ans = (ans * (i % c)) % c;
    } 
    for(long long i = 1; i <= min(b, a - b); ++i){ 
       p = (p * (i % c)) % c;
    } 
    x = p % c;
    y = c - 2;
    ans2 = 1;
    while(y > 0){
       if(y % 2 == 1) ans2 = (ans2 * x) % c;
       y /= 2;
       x = (x * x) % c;
    }
    ans = (ans * ans2) % c;
    return ans;
}
int main(){
    cin >> m >> n;
    ANS = max(m, n) % c;
    a = m + n + 1;
    b = min(m, n);
    ANS = (ANS + zuhe(a, b)) % c;
    cout << ANS;
}