倍增LCA学习笔记

1.什么是LCA

LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。——百度百科

这么说可能不直观，我们通过一张图来理解一下

（图片来源百度百科）

在这棵树中，点\(3\)和点\(6\)的最近公共祖先是\(2\)，因为3的祖先是{1,2}，6的祖先是{4,2,1}。它们的公共祖先是{2,1}，而其中深度最大的是\(2\)

2.怎么求LCA

1.朴素算法

了解了\(LCA\)的定义，不难得出一种暴力算法，即对于\(u,v\)两个点，我们让它们不断地一步一步往上跳，直到第一次相遇。

算法时间复杂度：\(O(N)\)

2.倍增算法

既然一步一步跳太慢，我们可以考虑设计一种倍增算法，让它一次跳\(2^{0},2^{1},···.2^{n}\)次方步。

算法流程：

定义\(fa[i][j]\)为第\(i\)个点跳\(2^{j}\)步后达到的点，\(deep[i]\)为第\(i\)个点的深度。

1.建树，计算深度，预处理\(fa[i][0]\)

这一部分可以用\(dfs\)实现

void dfs(int t , int father) //t表示当前点编号，father表示它的父亲结点编号
{
	deep[t] = deep[father] + 1;//深度是父亲深度+1
	fa[t][0] = father;//t跳一步正好到father
	for(int i = head[t]; i ; i = edge[i].Next)//链式前向星
	{
		if(edge[i].to != father)//避免出现死循环
		  dfs(edge[i].to , t);
	}
}

2.预处理\(fa[i][j]\)

因为\(2^{j}=2^{j-1}+2^{j-1}\)，所以我们可以得到转移方程

\(fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]\)

即先跳\(2^{j-1}\)到达\(fa[i][j-1]\),再跳\(2^{j-1}\)步到达\(fa[fa[i][j-1][j-1]]\)

Code

void prework()
{
	for(int j = 1; j <= 20; j ++)//为了保险开到2^20，一般超过2^20的数据都会超时了
	{
		for(int i = 1; i <= n; i ++)
		{
			fa[i][j] = fa[fa[i][j - 1]][j - 1];
		}
	}
}

3.求\(LCA\)

假设求\(x,y\)的\(LCA\)

为了方便讨论，假设\(deep[x]>deep[y]\)，即\(x\)的深度大于\(y\)的深度

先让\(x\)跳到与\(y\)同一深度，代码如下

for(int i = 20; i >= 0; i --) if(deep[fa[x][i]] >= deep[y]) x = fa[x][i];//只要x还比y深，就跳，否则不跳

如果这时候如果\(x\)已经等于\(y\)了，直接输出即可。

到达同一深度后，我们开始让\(x,y\)一起跳，注意这里我们要跳到它们\(LCA\)的下一层，否则求出来的可能比答案来的深度小。

还是看最开始的例子，\(3,6\),调整至同一高度后为\(3,4\)，如果不是跳到\(LCA\)的下一层的话，它们可能跳到\(1\)。

代码如下

 for(int i = 20; i >= 0; i --) 
    if(fa[x][i] != fa[y][i]) x = fa[x][i] , y = fa[y][i];//如果它们跳2^i后不相等，那么肯定不是LCA的上面，所以跳

最后的答案就是\(f[x][0]\)了

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n , m , s , cnt;
int deep[500100];
int fa[500010][31];
struct G{
	int to , Next;
}edge[1000010];
int head[500010];
void add(int from , int to)//建边
{
	edge[++ cnt].Next = head[from];
	edge[cnt].to = to;
	head[from] = cnt;
}
void dfs(int t , int father)//预处理深度
{
	deep[t] = deep[father] + 1;
	fa[t][0] = father;
	for(int i = head[t]; i ; i = edge[i].Next)
	{
		if(edge[i].to != father)
		  dfs(edge[i].to , t);
	}
}
void prework()//预处理fa数组
{
	for(int j = 1; j <= 20; j ++)
	{
		for(int i = 1; i <= n; i ++)
		{
			fa[i][j] = fa[fa[i][j - 1]][j - 1];
		}
	}
}
int query(int x , int y)//求LCA
{
     if(deep[x] < deep[y]) swap(x , y);//令x的深度大于y的深度
     for(int i = 20; i >= 0; i --) if(deep[fa[x][i]] >= deep[y]) x = fa[x][i];//让x,y跳到同一深度
     for(int i = 20; i >= 0; i --) if(fa[x][i] != fa[y][i]) x = fa[x][i] , y = fa[y][i];//让x,y一起跳
     if(x == y) return x; 
     else return fa[x][0];
}
int main()
{
//	ios::sync_with_stdio(false);
	scanf("%d%d%d" , &n , &m , &s);
	for(int i = 1; i <= n - 1; i ++)
	{
		int x , y;
		scanf("%d%d" , &x , &y);
		add(y , x);
		add(x , y);
	}
	dfs(s , 0);
	prework();
	for(int i = 1; i <= m; i ++)
	{
		int a , b;
		scanf("%d%d" , &a , &b);
		printf("%d\n" , query(a , b));
	}
	return 0;
}

时间复杂度\(O(logn)\)

4.一些思考

为什么求LCA中\(j\)要从大到小枚举。

举个例子，比如跳9步，如果按从小到大枚举是\(1+2+4+8\),而\(9 \ne1+2+4+8\),还需要回去重新找，而从大到小的话直接求出\(9=8+1\)

5.例题

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）