矩阵求导术（一）— 矩阵向量求导定义和布局

求导定义和求导布局：

1. 向量矩阵求导 - 本质：多元函数求导，将函数的自变量、因变量、标量求导的结果，排列成了向量矩阵的形式（便于表达和计算）【x：标量；x：向量；X：矩阵；y：标量；y：向量；Y：矩阵】
2. 根据自变量或因变量是标量，向量还是矩阵，矩阵求导定义如下（可能有9种情况）

自变量/因变量	标量y	向量y	矩阵Y
标量x
向量x
矩阵X

3. 向量对标量求导的结果还是相同维度的向量，同时理论上结果向量是行向量和列向量均可，但是在机器学习算法优化过程中，如果不统一，则可能会出现混乱的情况，为了解决这个问题（矩阵向量求导的结果不唯一），引入了矩阵向量求导布局概念
4. 基本的求导布局有两个：分子布局（求导结果以分子的维度为主）和分母布局（求导的结果以分母的维度为主），两者的区别只是差一个转置
5. 对于以上情况中：向量或矩阵对标量求导，分子布局中，结果的维度与分子相同，比如列向量对标量求导，则结果即为列向量，分母布局则对分子布局进行转置即可；标量对向量或矩阵求导类似，分母布局中，结果维度与分母相同，分子布局的结果是对分子布局结果转置即可；向量对向量求导，求导结果为一个矩阵，分子布局中，矩阵的行维度与分子相同，反之，分母布局则与分母向量的维度保持一致
6. 向量对向量求导举例，m维列向量对n维列向量求导，分子布局，求导结果矩阵维度为mxn，一般叫做雅各比矩阵，分母布局为nxm，一般叫做梯度矩阵，部分资料上会通过以下公式定义雅各比矩阵和梯度矩阵

7. 在机器学习算法优化过程中，使用什么布局方式被隐含了，一般来说，采用混合布局的思路
8. 混合布局：向量或矩阵对标量求导，采用分子布局；标量对向量或矩阵求导，采用分母布局；向量对向量求导，有些分歧，本系列文章中均使用雅各比矩阵，即分子布局
9. 以上布局思路都是人为认定的，不同的资料有不同的布局方式，只要在一类求导方式中确定一种布局思路即可，比如一个多项式中，如果前面向量对向量求导使用了雅各比矩阵，那么后续向量对向量求导都需要使用分子布局方式

本文参考刘建平老师的博客：https://www.cnblogs.com/pinard/p/10750718.html