[学习笔记] 牛顿迭代法

泰勒展开

假设我们有函数(f(x))，(x)在(x_0)处有(infty)阶导数。

我们知道(f(x_0)) 的值

我们希望构造一个多项式(g)，使它尽可能逼近函数(f)。

• 那么就使它在(x_0)处的1~(infty)阶导数都与(f)相同，即：(f^{(n)}=g^{(n)})，那么一直到最后就有(f(x)=g(x))

• 我们还原这个多项式：

(egin{aligned}g(x)&=xi_0+f(x_0)+frac{f^{(1)}(x_0)}{1!}(x-x_0)^1+frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\&=xi_0+f(x_0)+sum_{i=1}^{infty}frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^iend{aligned})

这即是泰勒展开。

牛顿迭代法

假设我们要求：(F(B(x))equiv0(mod x^{2^t}))，(B(x))为多项式

设 (B_t(x)equiv B(x)(mod x^{2^t}))

首先，我们可以很容易的算出(B_0)。

假设我们已经求出了(B_{t-1})。

• 我们对(F(B_{t+1}(x)))在(B_t)处进行泰勒展开。

(egin{aligned}F(B_{t+1}(x))&=F(B_t(x))+sum_{i=1}^nfrac{F^{(i)}(B_t(x)) imes(B_{t+1}(x)-B_t(x))^i}{i!}\&=F(B_t(x))+frac{F'(B_t(x)) imes(B_{t+1}(x)-B_t(x))}{1!}end{aligned})

因为 (F(B_t(x))equiv0(mod x^{2^t}))，

所以 ((B_{t+1}(x)-B_t(x))^n=0(nge2))

• 把目标项单独移到左边：

(B_{t+1}(x)=B_t(x)+frac{F(B_{t+1}(x))-F(B_t(x))}{F'(B_t(x))})

• 又因为(F(B_{t+1}(x)))在模意义下等于0（定义），又有：

(B_{t+1}(x)=B_t(x)-frac{F(B_{t}(x))}{F'(B_t(x))})

这即使牛顿迭代法的式子。

多项式求逆

即求：(A(x) imes B(x)equiv1) （(A)为原多项式系数）

有：

(F(B_t(x))=A(x) imes B_t(x)-1)

• 代入牛顿迭代法的式子：

(egin{aligned}B_{t+1}(x)&=B_t(x)-frac{A(x) imes B_t(x)-1}{A(x)}\&=B_t(x)-B_t(x) imes(A(x) imes B_{t}(x)-1)\&=-A(x) imes B_t^2(x)+2B_t(x)end{aligned})

（因为(A imes Bequiv 1)，所以除以(A)即是乘上(B)）

void Inv(int *f,int *g,int n){
	int c[N];
    f[0]=pow(g[0],mod-2);
	for (int l=2;l<n<<1;l<<=1){
		Get(l<<1,0);
		for (int i=0;i<l;i++) c[i]=g[i];
		for (int i=l;i<L;i++) c[i]=0;
    	fft(f,1),fft(c,1);
		for (int i=0;i<L;i++) f[i]=(2-1ll*c[i]*f[i])%mod*f[i]%mod;
		fft(f,-1);
		for (int i=l;i<L;++i) f[i]=0;
	}
}

多项式求 (ln)

即求：(ln A(x)=B(x))

• 这次不需要用到牛顿迭代法，直接求导：

(egin{aligned}ln A(x)&=B(x)\frac{A'(x)}{A(x)}&=B'(x)end{aligned})

然后只要积分即可。

void Qiud(int *f,int *g,int n){
	f[n-1]=0;
	for (int i=0;i<n-1;i++) f[i]=1ll*g[i+1]*(i+1)%mod;
}
void Jif(int *f,int *g,int n){
	f[0]=0;
	for (int i=1;i<n;i++) f[i]=1ll*g[i-1]*inv[i]%mod;
}
void Ln(int *f,int *g,int n){
	int c[N],d[N];
	for (int i=0;i<n;i++) c[i]=d[i]=0;
	Inv(c,g,n),Qiud(d,g,n);
	Get(n<<1);
	for (int i=n;i<L;i++) c[i]=d[i]=0;
	fft(c,1),fft(d,1);
	for (int i=0;i<L;i++) d[i]=1ll*c[i]*d[i]%mod;
	fft(d,-1);
	Jif(f,d,n);
}

(exp)

即求：(e^{A(x)}=B(x))

• 我们先用(ln) 把exp给去掉：

(A(x)=ln B(x))

有：

(F(B_t(x))=ln B(x)-A(x))

• 套牛顿迭代法：

(egin{aligned}B_{t+1}(x)&=B_t(x)-frac{ln B_t(x)-A(x)}{frac{1}{B_t(x)}}\&=B_t(x) imes(1-ln B_t(x)+A(x))end{aligned})

• 时间复杂度是 (varTheta(nlog^2n)) 的

void Exp(int *f,int *g,int n){
	int c[N],d[N];
	f[0]=1;
	for (int l=2;l<n<<1;l<<=1){
		Ln(d,f,l);
		Get(l<<1,0);
		for (int i=0;i<l;i++) c[i]=g[i];
		for (int i=l;i<L;i++) c[i]=d[i]=0;
		fft(f,1),fft(c,1),fft(d,1);
		for (int i=0;i<L;i++) f[i]=(1ll-d[i]+c[i])*f[i]%mod;
		fft(f,-1);
	}
}

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以上就是全部内容了，刚发现没写过(FFT)的博客，待会儿补一下。