[学习笔记] 关于差分

本篇参考 【顾z】dalao的讲解。

差分数组：

现讲一下差分数组的定义吧。

a[i]=Σⁿ_j=1  b[j]。

几个栗子：

原数组1,3,5,2,4。

差分数组1,2,2,-3,2。

那么这个数组有什么优势呢？

如果我们要在原数组中修改一段区间的值，假如是给l到r这段区间加上x，那么它在差分数组中的体现就是：b[l]+x，b[r+1]-x。

也就是说：我们把区间修改变成了单点修改。

例题：AT2442（洛谷上直接搜就好），洛谷P3948，P3943。其中P3943的题解戳这里。（难度由低到高排序，在这里再次感谢顾z dalao）

树上差分：

树上差分这个东西一般被用来解决树上的路径计数问题。

点差分：

那么当我们要修改7到8这一条链上的值，给它每个点加上1，我们应该怎么做呢？

对于一颗树（描红的点是要加的）：

先给大家说一种非常简单的差分数组理解方式吧：

cnt[u]表示给根到u结点的路径经过的所有点都加上cnt[u]。

我们只需要在差分数组的7号点加1，8号点加1，他们的lca 4号点-1，lca的父亲2号点-1，就行了。

为什么呢？

cnt[7]+1：我们把1,2,4,7四个节点加上了1。

cnt[8]+1：我们把1,2,4,6,8五个节点加上了1。

注意到此时由根（1）到lca的父亲（2）的路径上所有点都多加了两遍1，而lca被多加了一次，所以：

cnt[4]-1：我们把1,2,4三个点都减了1。

cnt[2]-1：我们把1,2这两点减了1。

对于查询，在dfs时把以它为根的子树中差分数组的值都累加起来就是它当前的值了（就相当于是把差分数组搬到树上了嘛）。

得出，点差分：

cnt[u]++      cnt[v]++      

cnt[lca]--     cnt[father[lca]]--

具体代码：

procedure getans(u,father:longint);
var
　　i,v:longint;
begin
　　g[u]:=cnt[u];
　　i:=head[u];
　　while i<>0 do
　　begin
　　　　v:=vet[i];
　　　　if v<>father then
　　　　begin
　　　　　　getans(v,u);
　　　　　　g[u]:=g[u]+g[v];
　　　　end;
　　　　i:=next[i];
　　end;
　　if g[u]>ans then ans:=g[u];
end;
begin

　　for i:=1 to m do
　　begin
　　　　read(x,y);
　　　　z:=lca(x,y);
　　　　inc(cnt[x]); inc(cnt[y]);
　　　　dec(cnt[z]); dec(cnt[f[z,0]]);
　　end;
　　getans(1,0);               //答案统计再g数组里。


end.

边差分：

类似的，我们要给u到v这一条链上所有边都加1，也是差不多的。

还是那张图（描红的边是要加的）：

我们把边压到点里（压到下面的那个点）。

我们只需要在差分数组的7号点加1，8号点加1，他们的lca 4号点-2就行了。

为什么呢？

cnt[7]+1：我们把1到2,2到4,4到7这三条边都加1。

cnt[8]+1：我们把1到2,2到4,4到6,6到8这四条都加1。

注意到此时根（1）到它们的lca（4）的路径上所有的边都被多加了2次，所以：

cnt[4]-2：我们把1到2,2到4这两条边都减2。

得出边差分：

cnt[u]++      cnt[v]++

cnt[lca]-2 

很简单，不是吗？

具体代码：

procedure getans(u,father:longint);
var
　　i,v:longint;
begin
　　g[u]:=cnt[u];
　　i:=head[u];
　　while i<>0 do
　　begin
　　　　v:=vet[i];
　　　　if v<>father then
　　　　begin
　　　　　　getans(v,u);
　　　　　　g[u]:=g[u]+g[v];
　　　　　　if (g[v]=num)and(dist[i]>=k) then flag:=true;
　　　　end;
　　　　i:=next[i];
　　end;
end;
begin

　　for i:=1 to m do
　　begin
　　　　read(u[i],v[i]);
　　　　grand[i]:=lca(u[i],v[i]);
　　　　len[i]:=d[u[i]]+d[v[i]]-2*d[grand[i]];
　　　　if len[i]>max then max:=len[i];
　　end;
　　getans(1,0);                     //答案存再g数组里。

end;

例题：洛谷P3128，P3258，P2680。其中P2680的题解戳这里。（难度按由低到高排序，再次感谢顾z dalao——我保证这是最后一次了【滑稽】）