二分图多重匹配问题

转载至：https://blog.csdn.net/luozhong11/article/details/52430572

在二分图最大匹配中，每个点（不管是X方点还是Y方点）最多只能和一条匹配边相关联，然而，我们经常遇到这种问题，即二分图匹配中一个点可以和多条匹配边相关联，但有上限，或者说，L_i表示点i最多可以和多少条匹配边相关联。

二分图多重匹配分为二分图多重最大匹配与二分图多重最优匹配两种，分别可以用最大流与最大费用最大流解决。

（1）二分图多重最大匹配：
在原图上建立源点S和汇点T，S向每个X方点连一条容量为该X方点L值的边，每个Y方点向T连一条容量为该Y方点L值的边，原来二分图中各边在新的网络中仍存在，容量为1（若该边可以使用多次则容量大于1），求该网络的最大流，就是该二分图多重最大匹配的值。

（2）二分图多重最优匹配：
在原图上建立源点S和汇点T，S向每个X方点连一条容量为该X方点L值、费用为0的边，每个Y方点向T连一条容量为该Y方点L值、费用为0的边，原来二分图中各边在新的网络中仍存在，容量为1（若该边可以使用多次则容量大于1），费用为该边的权值。求该网络的最大费用最大流，就是该二分图多重最优匹配的值。