以下均移自 周冬的《两极相通-浅析最大最小定理在信息学竞赛中的应用》
平面图性质
1、（欧拉公式）如果一个连通的平面图有n个点，m条边和f个面，那么f=m-n+2
2、每个平面图G都有一个与其对偶的平面图G* G*中的每个点对应G中的一个面
G*中的每个点对应G中的一个面
对于G中的每条边e
e属于两个面f1、f2，加入边(f1*， f2*)
e只属于一个面f，加入回边(f*， f*)
平面图G与其对偶图G*之间存在怎样的关系呢？
G的面数等于G*的点数，G*的点数等于G的面数，
G与G*边数相同 G*中的环对应G中的割一一对应
例题：BZOJ 1001
1001: [BeiJing2006]狼抓兔子
Time Limit: 15 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 29380 Solved: 7697
[Submit][Status][Discuss]
Description
现在小朋友们最喜欢的"喜羊羊与灰太狼",话说灰太狼抓羊不到，但抓兔子还是比较在行的，
而且现在的兔子还比较笨，它们只有两个窝，现在你做为狼王，面对下面这样一个网格的地形：
左上角点为(1,1),右下角点为(N,M)(上图中N=4,M=5).有以下三种类型的道路
1:(x,y)<==>(x+1,y)
2:(x,y)<==>(x,y+1)
3:(x,y)<==>(x+1,y+1)
道路上的权值表示这条路上最多能够通过的兔子数，道路是无向的. 左上角和右下角为兔子的两个窝，
开始时所有的兔子都聚集在左上角(1,1)的窝里，现在它们要跑到右下解(N,M)的窝中去，狼王开始伏击
这些兔子.当然为了保险起见，如果一条道路上最多通过的兔子数为K，狼王需要安排同样数量的K只狼，
才能完全封锁这条道路，你需要帮助狼王安排一个伏击方案，使得在将兔子一网打尽的前提下，参与的
狼的数量要最小。因为狼还要去找喜羊羊麻烦.
Input
第一行为N,M.表示网格的大小，N,M均小于等于1000.
接下来分三部分
第一部分共N行，每行M-1个数，表示横向道路的权值.
第二部分共N-1行，每行M个数，表示纵向道路的权值.
第三部分共N-1行，每行M-1个数，表示斜向道路的权值.
输入文件保证不超过10M
Output
输出一个整数，表示参与伏击的狼的最小数量.
Sample Input
3 4
5 6 4
4 3 1
7 5 3
5 6 7 8
8 7 6 5
5 5 5
6 6 6
5 6 4
4 3 1
7 5 3
5 6 7 8
8 7 6 5
5 5 5
6 6 6
Sample Output
14
解析：
根据上文建图
偌。。这就是建出来的图 然后跑一遍spfa就好啦对啦对啦。。。n == 1 和 m == 1 的时候要单独考虑
#include <iostream> #include <cstdio> #include <sstream> #include <cstring> #include <map> #include <cctype> #include <set> #include <vector> #include <stack> #include <queue> #include <algorithm> #include <cmath> #include <bitset> #define rap(i, a, n) for(int i=a; i<=n; i++) #define rep(i, a, n) for(int i=a; i<n; i++) #define lap(i, a, n) for(int i=n; i>=a; i--) #define lep(i, a, n) for(int i=n; i>a; i--) #define rd(a) scanf("%d", &a) #define rlld(a) scanf("%lld", &a) #define rc(a) scanf("%c", &a) #define rs(a) scanf("%s", a) #define pd(a) printf("%d ", a); #define plld(a) printf("%lld ", a); #define pc(a) printf("%c ", a); #define ps(a) printf("%s ", a); #define MOD 2018 #define LL long long #define ULL unsigned long long #define Pair pair<int, int> #define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) #define _ ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0) //freopen("1.txt", "r", stdin); using namespace std; const int maxn = 2001000, INF = 0x7fffffff, LL_INF = 0x7fffffffffffffff; int head[maxn], cnt, n, m, s, t; int d[maxn << 1], vis[maxn]; struct node { int u, v, w, next; }Node[maxn << 2]; void add_(int u, int v, int w) { Node[cnt].u = u; Node[cnt].v = v; Node[cnt].w = w; Node[cnt].next = head[u]; head[u] = cnt++; } void add(int u, int v, int w) { add_(u, v, w); add_(v, u, w); } bool spfa(int s) { for(int i = 0; i < (maxn << 1); i++) d[i] = INF; queue<int> Q; mem(vis, 0); Q.push(s); vis[s] = 1; d[s] = 0; while(!Q.empty()) { int u = Q.front(); Q.pop(); vis[u] = 0; for(int i = head[u]; i != -1; i = Node[i].next) { node e = Node[i]; if(d[e.v] > d[u] + e.w) { d[e.v] = d[u] + e.w; if(!vis[e.v]) { Q.push(e.v); vis[e.v] = 1; } } } } return true; } void init() { mem(head, -1); cnt = 0; } int main() { init(); int u, v, w; cin >> n >> m; s = 0, t = n * m * 2 + 1; if(n == 1){ int minn = INF; for(int i = 0; i < m; i++){ rd(w); minn = min(minn, w); } pd(minn); return 0; } if(m == 1){ int minn = INF; for(int i = 0; i < n - 1; i++){ rd(w); minn = min(minn, w); } pd(minn); return 0; } for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 1; j <= m - 1; j++) { cin >> w; if(i == 0) add(t, i * (m - 1) + j, w); else if(i == n - 1) add((n - 1) * (m - 1) + (i - 1) * (m - 1) + j, s, w); else add(i * (m - 1) + j, (n - 1) * (m - 1) + (i - 1) * (m - 1) + j, w); } } for(int i = 0; i < n - 1; i++) { for(int j = 1; j <= m; j++) { cin >> w; if(j == 1) add(s, (n - 1) * (m - 1) + i * (m - 1) + j, w); else if(j == m) add((i + 1) * (m - 1), t, w); else add(i * (m - 1) + (j - 1), (n - 1) * (m - 1) + i * (m - 1) + j, w); } } for(int i = 0; i < n - 1; i++) for(int j = 1; j <= m - 1; j++) { cin >> w; add(i * (m - 1) + j, (n - 1) * (m - 1) + i * (m - 1) + j, w); } spfa(s); cout << d[t] << endl; return 0; }