浅谈manacher算法

一直觉得manacher有点鸡肋，其实还挺有意思的。

首先我们来看如何求出一个字符串中有多少个回文子串，在没有学习manacher之前，我们应该只会O（nlogn）的算法

但是manacher可以将这一时间复杂度变为O（n）。

我们来看具体是如何实现的。

首先我们知道，回文串可能是技术长度，也可能是偶数长度，但是这样的话就需要不同的判断方式，但是如果我们在每两个字符之间插入同样的字符，每个回文串的长度就都会变为奇数，就可以统一判断。

注意，插入的这个字符串必须没有在原串中出现过。

然后我们来举个例子说明

C=010101

插入之后就是   $ # 0 # 1 # 0 # 1 # 0 # 1   （$是为了不越界）

再来一个P数组   1 2 1 4 1 6 1 5 1 3 1 1

可以看出，p[i]存的是以c[i]为中心的最长的回文子串的半径，而通过这个值，我们就可以轻松地算出回文串的个数

于是现在问题就转化成了求出P数组

而求出P数组的关键就是

 if( mx> i)  p[i]=min( p[id*2-i] , mx-i );

我们定义mx为当前右边界最靠右的回文子串的右边界，而id是这个串的中点

id*2-i 是i关于id的对称点，因为mx在i的右边，所以这给回文串的左端点在id*2-i的左边，而且因为这是一个回文串，所以两边的情况是相同的，当i的对称点为中心的回文串的左端点在这个回文子串的左端点的右端时，以i为中心也肯定有这个回文串，因为两边是对称的

而当i的对称的点的串超出了mx的范围，就用到了更加靠左的字符，也就超出了控制范围，也就不能直接继承了。

下面给出代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define max(a,b) a > b ? a : b
#define min(a,b) a < b ? a : b
using namespace std;
inline int rd(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
inline void write(int x){
    if(x<0) putchar('-');
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    return ;
}
char s[11000006],c[22000006];
int n,p[22000006];
int main(){
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    c[0]='$';
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        c[i*2-1]='#';
        c[i*2]=s[i];
    }
    c[n*2+1]='#';
    int mx=0,id=0;
    int ans=0;
    for(register int i=1;i<=2*n;++i){
        if(mx>i) p[i]=min(p[id*2-i],mx-i);
        else p[i]=1;
        while(c[i+p[i]]==c[i-p[i]]) ++p[i];
        if(mx<i+p[i]) mx=i+p[i],id=i;
        ans=max(ans,p[i]-1);
    }
    write(ans);
    return 0;
}