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  • 最优化理论与方法(袁亚湘 孙文瑜)笔记(一)

    一、概述  

      在1947年,Dantzig提出求解一般线性规划问题的单纯形法之后。现在,解线性规划、非线性规划以及随机规划、非光滑规划、多目标规划、几何规划、整数规划等各种最优化问题的理论的研究发展迅速。

      最优化问题的一般形式为:

                   

      X属于Rn为约束集或可行域,f(x)是目标函数,x属于Rn是决策变量。特别地,约束集X=Rn ,则最优化问题成为无约束最优化问题:

      对于约束最优化问题通常写为

          

      这里,E和I分别是等式约束的指标集合不等式约束的指标集,ci是约束函数。当目标函数和约束函数均为线性函数时。问题称为线性规划。当目标函数和约束函数中至少有一个是变量x的非线性函数时,问题称为非线性规划。

      除此之外,根据决策变量、目标函数和要求的不同,最优化还分成整数规划、动态规划、网络规划、非光滑规划、随机规划、几何规划、多目标规划等若干分支。

      本文主要研究求解无约束最优化问题和约束最优化问题。

    二、半范数和范数定义

    半范数:

    范数:

    三、向量范数和矩阵范数

    (1)向量范数

    (2)矩阵向量

     (i) 类似于向量范数的定义,可以定义矩阵范数。设A为Rn×n,其诱导矩阵范数定义为:

    诱导矩阵范数的两个性质:

    (ii)Frobenius范数及其它

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