什么是线性的？什么是空间？什么是变换？
变换倒是容易理解，就是某种映射。对于线性空间，有种似懂未懂的感觉，甚至对空间的概念就是三维坐标空间那样的空间。之所以会有这种朦胧的感觉，是因为经常见到但又不认真地讨论分析过它。
先给出结论，然后再仔细说明。
一、结论
线性空间把集合，数域以及满足相应运算律的两种运算作为统一整体的一个概念。
二、详细介绍
定义：设V是一个非空集合，F是一个数域。
（1）如果能定义一种V的元素间的运算，叫做加法：对于V中任意两个元素a,b,都有V中唯一的元素c与之对应；c称为a与b的和，记为c=a+b。
（2）另外，还能定义一种数域F的数与集合V的元素间的运算，叫做数乘：对于数域F中任一数k及集合V中任一元素a，都有V中唯一的元素d与之对应；d称为k与a的数积，记为 d=ka。
（3）并且以上两种运算具有如下性质：对于任意的a，b，c属于V及k，l属于F，满足...8个性质
则称V为数域F上的一个线性空间
定义中的加法及乘法运算统称为线性运算
三、深入理解
（1）线性空间亦称向量空间。线性空间的元素又称为向量，零元素又称为零向量，负元素又称负向量。
（2）“加法”与“数乘”其实各是一种给定的规则，能成为线性空间定义要求的运算，除了规则的确定性之外，还要具备“运算结果仍在V中”这一条件，即要求集合V具备对加法运算和数乘运算的封闭性。
（3）复数域C是实数域R上的一个线性空间。这里，加法是通常意义下的，数乘指实数乘复数。但如果数乘选择
k。a=1/2ka,k属于R，a属于C
1。a=1/2a不满足其中一条性质，因此在这样的数乘意义下不能构成线性空间
（4）集合不能构成复数域C上的线性空间。通常意义下的数乘不满足
（5）容易发现，很多例子中，构成线性空间时的两种运算都是在所涉及领域中通常的加法和数乘，正因为这样，线性空间的研究成果可以方便、有效地用于我们已经熟悉的许多领域、并且具有统一的、居高临下的指导作用。但是，这绝对不是说，只有通常意义下的加法、数乘运算下才可以构成线性空间。例如：
设R+是正实数的全体集合，R是实数域，定义加法“#”及数乘“。”如下：
a#b=ab, a,b属于R+（等式右端的ab为通常意义下的数的乘法）
k。a=ak k属于R，a属于R+
则R+上对于上述运算构成实数域R上的线性空间
注：这里定义的零元素是1，零元素的定义参见P195吉大教材，通常零元素记为0（但这只是记号，未必是真的零值），即a+0=a。上例中a#1=a，因此1值为零元素
（6）线性空间的基本性质:
线性空间的零元素唯一；
线性空间中任一元素的负元素唯一；
设V是数域F上的线性空间，则对任何a数域V及k属于F，总有：0a=0零向量；k0=0；当k≠0且a≠0时，定有ka≠0
四、线性空间的子空间
（1）定义
设V是数域F上的线性空间，V1是V的一个非空子集。如果V1对于V的加法与数乘运算也构成数域F上的线性空间，则称V1是V的一个线性子空间，简称子空间。子空间也满足加法和数乘运算的封闭性。
线性空间V的本身和零子空间称为平凡子空间。
（2）子空间的交与和
子空间的交V1∩V2也是V的子空间
子空间的和V1+V2也是V的子空间
子空间的直和：设V1和V2是线性空间V的两个子空间，如果对于和空间V1+V2的任一向量a都有V1中唯一的向量a1及V2中唯一的向量a2使得a=a1+a2，则称V1+V2为直和
V1+V2为直和的充分必要条件：V1∩V2={0}
参考文献
吉大教材《线性代数》最后一章