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  • 不变子空间

    定义:如果T是线性空间V的线性变换,V1是V的子空间,并且对于任意一个x属于V1,都有Tx属于V1,则称V1是T的不变子空间。

    注:xxx子空间是xx线性变换的子空间

    例子:

    (1)任何一个子空间都是数乘变换的子空间

    (2)Pn-1是D的不变子空间。Pn-1是一切次数小于n的多项式的集合形成的线性空间,D是多项式求导变换

    (3)线性变换T的属于λ0的特征子空间Vλ0T(某给定的)的不变子空间

    (4)整个线性空间V和零子空间,对于每个线性变换T(任意)而言,都是T的不变子空间

    (5)线性变换T(某给定的)的值域R(T)与核N(T)都是T的不变子空间

    性质:T的不变子空间的交与和仍为线性变换T的不变子空间。

    下面定理给出了怎么样使用不变子空间来简化线性变换的矩阵

    定理1:设T是线性空间Vn的线性变换,且Vn可分解为s个T的不变子空间的之和。

      Vn=V1直和V2...直和Vs

    又在每个不变子空间中取基,把它们合并起来作为Vn的基,则T在该基下的矩阵为

      A=diag(A1,A2...As),其中Ai就是T在Vi的基下的矩阵

    推论:线性空间Vn的线性变换T在Vn的某个基下的矩阵A为对角矩阵的充要条件是Vn可分解为n个T的一维特征子空间的直和。

      上面推论更一般的情况是:设T是线性空间Vn的线性变换,λ1,λ2,...,λs是T的全部不同的特征值,则T在某一基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是

      dimVλ1+dimVλ2+...+dimVλs=n

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Wanggcong/p/4748897.html
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