如何理解拓扑排序算法(转)

       对于一条有向边(u,v)，定义u < v；满足所有这样条件的结点序列称为拓扑序列。拓扑排序就是求一个有向图的拓扑序列的算法。
一个有向图顶点的拓扑序列不是惟一的。并不是任何有向图的顶点都可以排成拓扑序列，有环图是不能排的。

例子：比如排课问题，比如士兵排队问题等。
         拓扑排序在实际生活中和算法中都有很大的应用。比如要排一下几门课程的先后次序，我们可以把课程抽象成结点，把什么课是什么课的基础抽象成边，那么该图的一个拓扑序列就是这些课的一个可行的先后次序。各种语言的编译器都用到了拓扑排序。
    数学基础：
        什么是拓扑排序(Topological Sort)?简单地说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。
    回顾离散数学中关于偏序和全序的定义：
        若集合X上的关系R是自反的、反对称的和传递的，则称只是集合X上的偏序关系。
        设R是集合X上的偏序(Partial Order)，如果对每个x,y∈X必有xRy或yRx，则称R是集合X上的全序关系。
        直观地看，偏序指集合中仅有部分成员之间可比较，而全序指集合中全体成员之间均可比较。[例如]，图7.25所示的两个有向图，图中弧(x,y)表示x≤y，则(a)表示偏序，(b)表示全序。若在(a)的有向图上人为地加一个表示v2≤v3的弧(符号“≤”表示v2领先于v3)，则(a)表示的亦为全序，且这个全序称为拓扑有序(Topological Order)，而由偏序定义得到拓扑有序的操作便是拓扑排序。

      
AOV-网及其拓扑有序序列产生的过程
(a)AOV-网；(b)输出v6之后；(c)输出v1之后；(d)输出v4之后；(e)输出v3之后；(f)输出v2之后

    [思想]：
    一、从有向图中选取一个没有前驱的顶点，并输出之；
    二、从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧；
    重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。没有前驱 -- 入度为零，删除顶点及以它为尾的弧-- 弧头顶点的入度减1。

Status Topological Sort(ALGraph G){
    //有向图G采用邻接表存储结构。
    //若G无回路，则输出G的顶点的1个拓扑序列并返回OK，否则ERROR。
        FindInDegree(G，indegree)； //对各顶点求入度indegree[0..vernum-1]
        InitStack(S)；
        for(i=0；i<G.vexnum； ++i)
        if(!indegree[i])Push(S，i) //建零入度顶点栈,s入度为0者进栈
        count=0； //对输出顶点计数 
        while (!StackEmpty(S)) {
            Pop(S，i)； 
            printf(i，G.vertices[i].data)； ++count； //输出i号顶点并计数 
            for(p=G.vertices[i].firstarc；p； p=p—>nextarc) {
                k=p—>adivex； //对i号顶点的每个邻接点的入度减1
                if(！(--indegree[k]))Push(S，k)；//若入度减为0，则入栈
            }//for
        }//while
        if(count<G.vexnum) return ERROR； //该有向图有回路
        else return OK；
    }//TopologicalSort 

思想:

维护一个顶点入度为0的栈,

每次取栈顶元素top输出,对于top相邻的点进行入度数-1处理,处理后如果度数为0,再次入栈.

执行n次出栈操作,便可输出一个图的拓扑序.

判断是否包含有向环:如果入度为0的栈为空(top==-1),则说明包含有向环.(证明:无环时总有点入度为0).

时间复杂度:

1.搜索入度为0的顶点,建栈所需时间O(n);

2.无有向环时,每个顶点入栈一次,出栈一次,每条边扫描一次且仅一次,时间复杂度O(m).

3.总复杂度:O(n+m).

算法 ，总的时间复杂度为O(n+e)。

作者: 自由、创新、研究、探索……
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