单调队列优化背包

单调队列优化背包

单调队列：

• 概念：单调队列是一个双端队列，内部元素具有单调性（单调增或单调减），且保持先插入的一定在后插入的前面（也就是维护第二个值——在原序列中的编号，是递增的）；

  有两个操作：

  1. 插入：从对尾插入，和目前对尾作比较，如果会破坏单调性就删除，直到找到不会破坏单调性的位置为止；
  2. 获取：直接从对头获取就OK，如果对头的序号（插入时所维护的第二个值，也就是在一个序列中的编号，再单调队列里是递增的）不满足要求就删除找下一个；

• 用途：

  1. 用来求一段固定区间的最大值或最小值，例如滑动窗口就是道很典型的题；

  2. 优化有关固定区间长度转移的DP，例如转移方程形如：

     [dp[i]=min/max{dp[j]},(jin(i-m,i)) ]

     可以使用单调队列来优化；

  3. 优化多重背包，这也是这篇博客的主题；

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单调队列优化多重背包

（下面都是我的个人观点，个人认为比较通俗易懂，适合像我这样的蒟蒻食用（逃））

定义(f[i][j])为前(i)个物品使用容量(j)所能获得的最大价值；

对于一个容量为(C)的背包，对于(d)个价值为$ w(，体积为)v$ 物品；

那么对于(f[i][j])它只能从(f[i-1][j-k*v](kleq d and k*vleq j))转移过来；

对于任何一个(j) ，都有(j=a*v+b) ，那么(f[i-1][j-k*v]Rightarrow f[i-1][(a-k)*v+b]) ，由此可以看出我们可以把(f[i][j])的转移由不同的余数(b)分为(v)类，这里给出一个直观的状态转移方程（(b)可以把它当做一个常数）：

[f[i][a*v+b]=max{f[i-1][(a-k)*v_i+b]+k*w_i} ]

（ps：由此往上你都可以通过画图（我是把它想像成了一个能量条来理解（滑稽）） 来感性理解，下面的就不太好感性理解了，我曾试图感性理解，但发现很容易就会想偏，所以不太推荐感性理解）

手动变形一下：(ps:这里(a)还是原来的意思,然后用(k)代替了((a-k)))

[f[i][j]=max{f[i-1][k*v_i+b]+(a-k)*w_i}quad (kleq a and (a-k)leq d) ]

这里可以把(a*w_i)提出来，这样就成了你平常见到的单调队列优化的方程了：

[f[i][j]=max{f[i-1][k*v_i+b]+k*w_i}+a*w_iquad(kleq a and (a-k)leq d) ]

你看，这样是不是就很类似上面的单调队列的用途(2)的DP方程了；

根据这个方程，我们就可以用单调队列了，找(f[i-1][k*v_i+b]+k*w_i)在右端点为(a)长度为(d)的区间中的最大值（这里把(f[i-1][k*v_i+b]+k*w_i)看成序列中的元素，(a,k)都为序列的下标）；

这里(f[][])可以用滚动数组降一维；（这个大家应该都会）

如果还有什么不懂的地方，可以结合代码来加深理解；

code

(原题链接)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e4+5;
int f[N];
int n,m,C;
int q[N],val[N];
inline int read()
{
    int f=1;
    char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9') if(ch=='-') f=-1;
    int res=ch-'0';
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0';
    return res*f;
}
inline void solve(int v,int w,int d)//单调队列优化。
{
    for(int b=0;b<v;b++)
    {
        int k=0,head=1,tail=0;
        for(int j=b;j<=C;j+=v,k++)
        {
            int tmp=f[j]-k*w;
            while(head<=tail&&tmp>val[tail]) tail--;//滚动数组，所以要先插入。
            q[++tail]=k,val[tail]=tmp;
            while(head<=tail&&k-q[head]>d) head++;
            f[j]=val[head]+k*w;
        }
    }
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("travel.in","r",stdin);
    freopen("travel.out","w",stdout);
#endif
    n=read(),m=read(),C=read();
    for(int i=1,v,w,d;i<=n;i++)
    {
        v=read(),w=read(),d=read();
        solve(v,w,d);
    }
    for(int i=1,a,b,c;i<=m;i++)
    {
        a=read(),b=read(),c=read();
        for(int j=C;j>=0;j--)
            for(int k=0;k<=j;k++)
                f[j]=max(f[j],f[j-k]+k*k*a+k*b+c);
    }
    printf("%d",f[C]);
    return 0;
}

对于第二种情况，直接(c^2)暴力枚举就好了，千万不要考虑二次函数的优化，数据有锅，越优化越慢，不信你去题解里找到那篇优化了的交一下，T飞。（不知道是不是我背）

这道题还考你卡常的技巧，卡卡常就过了，还要看评测机给不给力，运气好的话，一遍就过了，如果不行就多交几遍（本人亲身经历） 。

对于这道题，你还可以试试二进制拆分，不过据说会T两个点（卡卡常说不定就过了）。