先普及一些异或的性质：
线性基
( exttt{OI}) 中的线性基即异或线性基，属于一种算法或数据结构。异或线性基可以解决序列子集的异或和问题，常用于出思维题。
定义
对于一个序列 (a_i(1le ile n))，它的线性基为序列 (lb_j(1le jle c,c=log_2{ m max}A))，(lb_j) 和 (a_i) 的子集异或和集相等。
(lb_j) 是序列 (a_i) 的一个子集的异或和，并且该异或和的最高位 (1) 是 (2^j)。
如果不存在一个子集使得异或和的最高位 (1) 是 (2^j)，(lb_j=0)。
一个序列的线性基可以有很多种。
如序列
的线性基可以是
。其中 (lb_1=2=5oplus 7)，不存在序列 (a_i) 的子集使异或和的最高位 (1) 为 (2^0)。
操作
插入
线性基的构造是通过插入数 (x) 来实现的。每次插入 (Theta(log { m max}A))。
具体实现方法是逆序遍历数 (x) 为 (1) 的二进制位 (j)：
如果该位有线性基（即 (lb_j ot=0)），令 (x=xoplus lb_j)，以消除 (x) 的 (j) 位，让 (x) 继续去找属于自己的一位。
如果该位没线性基（即 (lb_j=0)），令 (lb_j=x)，此时 (x) 已经异或了不少 (lb_k(j<klelog{ m max}A)) 了，他的实质是序列 (a_i) 自己的一个异或和。
代码：
//LB
const int LOGA=50;
ll lb[LOGA+7];
void add(ll x){
for(int i=LOGA;i>=0;i--)if(x>>i){
if(lb[i]) x^=lb[i];
else return void(lb[i]=x);
}
//很明显，一个数可能没有插入任何位置，然后就会跑到这里
}
查询
- 最大子集异或和
这里的最大子集异或和既可以是序列本身的最大子集异或和，又可以是在子集异或和异或一个数 (x) 的条件下的最大异或和。
如果是前者，初始化 (res=0)；如果是后者，初始化 (res=x)。
同样是逆序遍历二进制位，如果 (resoplus lb_j>res)，就令 (res=resoplus lb_j)。
为什么这样的贪心思想是正确的？可以想象每一个新异或上的 (lb_j) 都是不可能覆盖之前异或了的高位的，所以这是个没有后效性的贪心，所以是正确的。
代码：
int findmax(int x){
int res=x;
for(int i=LOGA;i>=0;i--)if((res^lb[i])>res) res^=lb[i];
return res;
}
- 子集异或和是否可以等于一个数
例题：Codeforces959F Mahmoud and Ehab and yet another xor task
有点像反插入。逆序遍历 (x) 为 (1) 的二进制位 (j)：
如果有线性基，就令 (x=xoplus lb_j) 以抵消 (x) 的 (j) 位，应用了
[xoplus lb_j=igoplus_{iin xset}ioplus a_i(lb_j=a_i,igoplus_{iin xset}i=x,xsetin a) ]的引理（说了好像和没说一样）。
如果没线性基，说明子集异或和不可以等于 (x)。
代码：
int find(int x){
for(int i=LOGA;i>=0;i--)if(x>>i){
if(lb[i]) x^=lb[i];
else return 0;
}
return 1;
}
- 是否有不同子集异或和相同/是否有非空子集异或和为 (0)
例题：洛谷P5556 圣剑护符
很明显这两个问题是同个问题，因为 (xoplus x=0)。
同插入，如果有一个元素没有插入任何位置，说明这个元素可以被另一个子集的异或和替代，说明有不同子集异或和相同/有非空子集异或和为 (0)。
代码同插入。
附：最大权值无子集异或和为 (0) 子集
例题：BJWC2011 元素
即每个元素有值和权值，求一个子集，使得不存在这个子集的子集值异或和为 (0)，并且这个子集权值和最大。
按权值从大到小排序，依次插入，把能插入某个线性基位置的加起来。
代码：
sort(&a[1],&a[n+1],cmp); int sm=0;
for(int i=1;i<=n;i++)if(add(x(a[i]))) sm+=y(a[i]);
printf("%d
",sm);
- 序列子集异或成 (x) 的方案数/序列子集可以异或成的不同异或和数
这要用一个引理：
令 (k=sum_{j=0}^{{ m max}A}[lb_j ot=0])：
序列 (a{n}) 的子集可以异或成的不同异或和数为 (2^k)。
对于每个异或和 (x)，序列 (a{n}) 有 (2^{n-k}) 种本质不同的子集异或和为 (x) 的方案。
对于 (x=0)，(2^{n-k}) 种本质不同的方案中包括了空集。
怎么证明呢？考虑到每个非零线性基可以选或不选，所以异或和有 (2^k) 种。考虑到异或的几个灵活的性质，可以推出每个没有插入线性基的序列元素，可以选或不选，所以每个异或和 (x) 有 (2^{n-k}) 种方案。
求异或和排名同理。
代码：
//Pow
const int mod=10086;
int Pow(int a,int x){
if(a==0) return 0; int res=1;
for(;x;(a*=a)%=mod,x>>=1)if(x&1) (res*=a)%=mod;
return res;
}
scanf("%d",&q);
vector<int> in;
for(int i=0;i<=LOGA;i++)if(lb[i]) in.pb(i);
int pre=0;
for(int i=0;i<sz(in);i++)if((q>>in[i])&1) (pre+=1<<i)%=mod;
(pre*=Pow(2,n-sz(in)))%=mod;
printf("%d
",(1+pre)%mod);
- 无向图上最大异或路径
这是线性基最玄学的操作之一。先随意生成树，对于每个环记录替换方案。具体看
吧。
代码见题解。
练习
线性基的题都是思维题。
(qquadqquadqquadqquadqquadqquadqquadqquadqquadqquadqquad)——( exttt{Segmenttree})
树链剖分，如果两点间距离 (>30)，根据抽屉原理，输出 ( exttt{YES})；否则把之间的点依次插入线性基，看是否有不同子集异或和相同。代码。
用了类似图上最大异或路径的玄学操作，总体是上述多个查询的合体，具体解法略。代码。
根据 ( exttt{SG}) 定理，这是个最大权值无子集异或和为 (0) 子集模板。
其他题自己找吧，这些就是最经典巧妙的了。
祝大家学习愉快！