题解-The Number of Good Intervals

题面

The Number of Good Intervals

给定 (n) 和 (a_i(1le ile n))，(m) 和 (b_j(1le jle m))，求对于每个 (j)，(a_i) 区间 (gcd) 为 (b_j) 的区间数。

数据范围：(1le nle 4cdot 10^6)，(1le mle 2cdot 10^5)，(1le a_i,b_ile 4cdot 10^4)。

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解法

唠叨

蒟蒻考场上 (Theta(n{ m d}(a))) 的公约数容斥过了……赛后 ( t MLE#13)。

正解有好多种，都是 (Theta(nlog^2n+m)) 的，其中一个 (log) 来自 (gcd)。蒟蒻说说最妙的一种。

奇妙的正解

(f_{i,j}) 表示右端点为 (i)，(gcd) 为 (j) 的区间数。

[f_{i,gcd(a_i,j)}=sum f_{i-1,j} ]

当然要考虑区间 ([i,i])，(f_{i,a_i}++)。

然后 (i) 这维滚动掉，(j) 这维用哈希表。

时间复杂度 (Theta(nlog^2n+m))。

• 证明：

只考虑 (f_{i,j}>0) 的 (j)，如果有 (cnt) 种，如果要加 (1) 种不减少原来的 (cnt) 种，必须是原来 (cnt) 种的公倍数。所以任何时候，(cnt) 必然是 (log) 级别的。

然后 (ans_j=sum_{i=1}^n f_{i,j})，可以求 (f) 的时候一起求，每次查询 (Theta(1))。

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x first
#define y second
#define be(a) a.begin()
#define en(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=4e6,A=4e4;
int n,m; ll ans[A+1];
unordered_map<int,ll> hsh[2];
int gcd(int x,int y){return x?gcd(y%x,x):y;}

//Main
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	int now=1,a;
	while(n--){
		cin>>a,now^=1,hsh[now].clear();
		for(auto it:hsh[now^1]){
			int g=gcd(a,it.x);
			hsh[now][g]+=it.y,ans[g]+=it.y;
		}
		hsh[now][a]++,ans[a]++;
	}
	cin>>m;
	int b;
	while(m--){
		cin>>b;
		cout<<ans[b]<<'
';
	}
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！