ybt1224 最大子矩阵（一个做了4遍的励志故事）

ybt1224 最大子矩阵

【题目描述】

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1×1)子矩阵。

【输入】

输入是一个N×N的矩阵。输入的第一行给出N(0<N≤100)。再后面的若干行中，依次(首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……)给出矩阵中的N^2^个整数，整数之间由空白字符分隔(空格或者空行)。已知矩阵中整数的范围都在[−127,127]。

【输出】

输出最大子矩阵的大小。

【输入样例】

4
0 -2 -7  0
9  2 -6  2
-4  1 -4  1
-1  8  0 -2 

【输出样例】

15

【题解】

一开始，我的思路很简单：求出所有子矩阵，O(n^4^)的复杂度，n<=100能过。(n方过一万)

但是我没有想到的是，时间不爆，但空间会爆（MLE）。而且写的程序有一堆BUG（RE、WA）。

初稿：一开始的大红大紫大蓝代码：(3AC,1WA,6MLE,6RE -> 19’)

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,ans=0,f[105][105][105][105];//四维数组，MLE源泉
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			cin >> f[1][1][i][j];
			if (f[1][1][i][j] > ans) {
				ans = f[1][1][i][j];//更新答案
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//枚举矩阵高度
		for (int j = 1; j <= n; j++) {//枚举矩阵宽度
			for (int k = 1; k + i - 1 <= n; k++) {//枚举点的纵坐标
				for (int l = 1; l + j - 1 <= n; l++) {//枚举点的横坐标
					f[i][j][k][l] = f[i - 1][j - 1][k][l] + f[1][j - 1][k + i - 1][l] + f[i - 1][1][k][l + j - 1] + f[1][1][k + i - 1][l + j - 1];//这就是求矩阵的公式，当i或j=0的时候就会触发BUG，因为f数组前两维为零时没有值。
					if (f[i][j][k][l] > ans) {
						ans = f[i][j][k][l];//更新答案
					}
				}
			}
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

二稿：优化之后的代码（将四维数组滚掉一维并修复了BUG）(6AC,4WA -> 60’)：

优化方法：针对MLE，考虑将f的第一维滚掉，但是一开始，小一圈的矩阵+竖条+横条+点的算法无法滚掉一个维度，所以优化算法，将求矩阵的和的算法改为：短一块的矩阵+横条。

但是这种算法不适用于0维的点和1维的线，所以f数组只存长宽>=2的矩阵，0维的点和1维的线都另开数组来计算。

用minif_1存横线，minif_2存竖线，spmnf(superminif)存点。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,ans=0/*因为矩阵有负数，所以如果答案为负，则无法得到正确答案*/,f[105][105][105],minif_1[105][105][105],minif_2[105][105][105],spmnf[105][105]/*superminif*/;
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//处理零维区间-点
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			cin >> spmnf[i][j];
			if (spmnf[i][j] > ans) {
				ans = spmnf[i][j];
			}
		}
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {//处理一维区间-线//枚举长度
		for (int j = 1; j + i - 1 <= n; j++) {//处理第一维坐标
			for (int k = 1; k <= n; k++) {//处理第二维坐标
				minif_1[i][k][j] = minif_1[i - 1][k][j] + spmnf[k][j + i - 1];
				if (minif_1[i][k][j] > ans) {
					ans = minif_1[i][k][j];
				}
				minif_2[i][j][k] = minif_2[i - 1][j][k] + spmnf[j + i - 1][k];
				if (minif_2[i][j][k] > ans) {
					ans = minif_2[i][j][k];
				}
			}
		}
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {//处理二维区间//枚举矩阵高度
		for (int j = 2; j <= n; j++) {//枚举矩阵宽度
			for (int k = 1; k + i - 1 <= n; k++) {//枚举点的纵坐标
				for (int l = 1; l + j - 1 <= n; l++) {//枚举点的横坐标
					if ((j>2)&&(i>2)) {//当完全可以这样算的时候
						f[j][k][l] = f[j][k][l] + minif_1[j][k + i - 1][l];
					}
					else {
						if (i == 2) {//这时可以直接由两条横线组成（f内不存在高度为1的矩阵）
							f[j][k][l] = minif_1[j][k][l] + minif_1[j][k + 1][l];
						}
						else {//j=2,i>2,这时可以有两条竖线组成
							f[j][k][l] = minif_2[i][k][l] + minif_2[i][k][l + 1];
						}
					}
					if (f[j][k][l] > ans) {
						ans = f[j][k][l];
					}
				}
			}
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

然后将ans初值调整到-inf。

三稿：修改最后答案小于0的BUG(7AC,3WA -> 70’)

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,ans=-0x3fffffff/*修改初值为-inf*/,f[105][105][105],minif_1[105][105][105],minif_2[105][105][105],spmnf[105][105];
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//处理零维区间
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			cin >> spmnf[i][j];
			if (spmnf[i][j] > ans) {
				ans = spmnf[i][j];
			}
		}
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {//处理一维区间//枚举长度
		for (int j = 1; j + i - 1 <= n; j++) {//处理第一维坐标
			for (int k = 1; k <= n; k++) {//处理第二维坐标
				minif_1[i][k][j] = minif_1[i - 1][k][j] + spmnf[k][j + i - 1];
				if (minif_1[i][k][j] > ans) {
					ans = minif_1[i][k][j];
				}
				minif_2[i][j][k] = minif_2[i - 1][j][k] + spmnf[j + i - 1][k];
				if (minif_2[i][j][k] > ans) {
					ans = minif_2[i][j][k];
				}
			}
		}
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {//处理二维区间//枚举矩阵高度
		for (int j = 2; j <= n; j++) {//枚举矩阵宽度
			for (int k = 1; k + i - 1 <= n; k++) {//枚举点的纵坐标
				for (int l = 1; l + j - 1 <= n; l++) {//枚举点的横坐标
					if ((j>2)&&(i>2)) {//够大
						f[j][k][l] = f[j][k][l] + minif_1[j][k + i - 1][l];
					}
					else {
						if (i == 2) {
							f[j][k][l] = minif_1[j][k][l] + minif_1[j][k + 1][l];
						}
						else {
							f[j][k][l] = minif_2[i][k][l] + minif_2[i][k][l + 1];
						}
					}
					if (f[j][k][l] > ans) {
						ans = f[j][k][l];
					}
				}
			}
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

发现处理一维矩阵时有类似二维的BUG，也就是不存在长度为一的线

那么线=两个零维点。

终稿：AC代码(10AC -> 100’)

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,ans=-0x3fffffff/*修改初值为-inf*/,f[105][105][105],minif_1[105][105][105],minif_2[105][105][105],spmnf[105][105];
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//处理零维区间
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			cin >> spmnf[i][j];
			if (spmnf[i][j] > ans) {
				ans = spmnf[i][j];
			}
		}
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {//处理一维区间//枚举长度
		for (int j = 1; j + i - 1 <= n; j++) {//处理第一维坐标
			for (int k = 1; k <= n; k++) {//处理第二维坐标
				if (i == 2) {//只要长度为二，就等于两个0维点相加
					minif_1[i][k][j] = spmnf[k][j] + spmnf[k][j + 1];
					if (minif_1[i][k][j] > ans) {
						ans = minif_1[i][k][j];
					}
					minif_2[i][j][k] = spmnf[j][k] + spmnf[j + 1][k];
					if (minif_2[i][j][k] > ans) {
						ans = minif_2[i][j][k];
					}
				}
				else {
					minif_1[i][k][j] = minif_1[i - 1][k][j] + spmnf[k][j + i - 1];
					if (minif_1[i][k][j] > ans) {
						ans = minif_1[i][k][j];
					}
					minif_2[i][j][k] = minif_2[i - 1][j][k] + spmnf[j + i - 1][k];
					if (minif_2[i][j][k] > ans) {
						ans = minif_2[i][j][k];
					}
				}
			}
		}
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {//处理二维区间//枚举矩阵高度
		for (int j = 2; j <= n; j++) {//枚举矩阵宽度
			for (int k = 1; k + i - 1 <= n; k++) {//枚举点的纵坐标
				for (int l = 1; l + j - 1 <= n; l++) {//枚举点的横坐标
					if ((j>2)&&(i>2)) {//够大
						f[j][k][l] = f[j][k][l] + minif_1[j][k + i - 1][l];
					}
					else {
						if (i == 2) {
							f[j][k][l] = minif_1[j][k][l] + minif_1[j][k + 1][l];
						}
						else {
							f[j][k][l] = minif_2[i][k][l] + minif_2[i][k][l + 1];
						}
					}
					if (f[j][k][l] > ans) {
						ans = f[j][k][l];
					}
				}
			}
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}