判断整除

【题目】

　　　　一个给定的正整数序列，在每个数之前都插入+号或-号后计算它们的和。所有结果中至少有一个可被整数k整除，我们则称此正整数序列可被k整除。

　　　　现判断一个正整数序列是否能被k整除。输入的第一行包含两个数：N（2 < N < 10000）和k(2 < k< 100)，其中N代表一共有N个数，k代表被除数。

　　　　第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都0到10000之间（可能重复）。

【题目链接】

　　　　http://noi.openjudge.cn/ch0206/3531/

【分析】

　　　　1.  所谓递推就是一个问题与其子问题有一定的关系，为求解问题，应从子问题入手并记录子问题能提供的数据（及其状态），通过子问题的数据/状态逐步将子问题扩展为原问题。

　　　　2.  该题的子问题就是该序列前i个数能否被k整除。

　　　　3.  再来看子问题状态，若仅仅提供该问题能否被k整除无法确定状态，根据mod运算的性质【(a+b)%k = (a%k+b%k)%k】不难想到，任意状态的值并不需要均求出来，而且任意两个状态如果相差k的整数倍则可将这两个状态视为等价，所以任意状态可映射到其对k取模之后的余数上去，当且仅当两个状态对k取模后余数相等可将这两个状态视为等价。由于一个子问题可能映射到多个余数，而k为2~100，所以定义子问题状态【bool 数组 b[i][j]的值表示序列前i个数所包含的状态除k余数是否可能为j】

　　　　4.  再来看状态转移，若b[i-1][j]=1则b[i][（j+a[i]) % k] = 1, b[i][（j-a[i]+k) % k] = 1;初始情况则是b[1][a[1]] = 1;

【代码】

#include <iostream>
using namespace std;
int n,i,j,k;
int a[10010];
bool b[10010][110];
int main()
{
    cin>>n>>k;
    for(i = 1; i <= n; i++) cin>>a[i],a[i]%=k;
    b[1][a[1]] = 1;
    for(i = 2; i <= n; i++)
        for(j = 0; j < k; j++)
            if(b[i-1][j])
                b[i][(a[i]+j)%k] = 1,
                b[i][(j-a[i]+k)%k] = 1;
    if(b[n][0]) cout<<"YES";
    else cout<<"NO";
}