约瑟夫斯环问题的几种经典解法

经典的约瑟夫斯

问题描述：

有n个人围成一圈，从1开始顺序排号。从第一个人开始报数(从1~3报数)，凡报到3的人退出圈子，问最后留下的是原来的第几号?

数组循环模拟法

const int N = 1000;
int person[N]={0};

int getJosePhus(int n,int m)
{
	if (n <= 0 || m <= 0)	//检查参数的有效值
		return -1;

	for(int j=0;j<n;j++)	//对下标为0~n-1赋值1~n
	{
		person[j] = j+1;
	}

	int leave = 0;	//离开的人
	int count = 0;	//计数1、2、3
	int index = 0;	//记录下标，超过n要取模，形成环形

	while (leave<n-1)	//当离开的人数比n-1少(即未退出人数大于1时，执行循环)
	{
		if(person[index]!=0)	//i下标的人还活着，计数就+1
		{
			count++;
		}
		if(count==m)	//当数到下标为m时，下标值置为0，计数器置0，离开人数+1
		{
			person[index] = 0;
			count = 0;
			leave++;
		}
		index++;	//每次循环下标仅+1
		if(index==n)	//达到了数组的最大下标，取模回到开头
		{
			index = index%n;
		}
	}
	index = 0;
	while (person[index]==0)	//循环找出剩下最后的值未清零的那个人的数组下标
	{
		index++;
	}	
	return person[index];
}

双向链表模拟法

int getJosePhus(int n,int m)
{
	list<int> circle;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		circle.push_back(i);
	}
	list<int>::iterator cur = circle.begin();
	while (circle.size()>1)
	{
		for(int i=0;i<m-1;++i)
		{
			++cur;
			if(cur==circle.end())	//走到end，就是头节点的前一个结点,要跳到第一个begin头节点
			{
				cur = circle.begin();
			}
		}
		list<int>::iterator next = ++cur;	//删除数到m的人要记录下一个人的地址,如果下一个人是end(头节点的前一个结点),要跳到第一个begin头节点
		if(next==circle.end())
		{
			next = circle.begin();
		}
		--cur;
		circle.erase(cur);	//erase函数会析构此结点，在返回的时候，指向当前迭代器的下一个节点
		cur = next;
	}
	return circle.front();
}

数学推理法

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。

如果原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式

f[1] = 0; (i = 1)
f[i] = (f[i - 1] + m) % i; (i > 1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1.由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

int getJosePhus(int n,int m)
{
	if(n<=0||m<=0)
	{
		return -1;
	}
	int last = 0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		last = (last + m) % i;
	}
	return last + 1;
}

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