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  • min-max 容斥

    $min - max$ 容斥

    Part 1

    对于简单的$min - max$容斥有一般形式,表达为:$max(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1} imes min(T)$

    对于上述式子,可以简单的理解。

    对于$S$中的每一项,其中的最大值为第$i$项

    由于$|T|$非空,一共有$2^{|S|}-1$个$T$,其中,对于非最大值的任意一项,都包含至少一个比其大的元素

    所以这些元素的选择情况构成了$2^{k}$幂,其中$|T|$的奇偶分布相同,所以相互抵消

    而最大元素只有一个,所以会保留

    显然对$min(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1} imes max(S)$同样成立

    Part 2

    有关推广

    对于期望,该容斥同样成立

    也就是说:$E(max(S))=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1} imes E(min(T))$

    具体证明是来自期望的线性性

    我忘记了qwq

    Part 3

    $kmax-min$容斥

    对于每个元素在答案中的贡献显然为$[n-x+1=k]$

    那么套上容斥系数:$[n-x+1=k]=sumlimits_{i=0}^{n-x}C(n-x,i) imes f(i+1)$

    也就是说:$[x+1=k]=sumlimits_{i=0}^x C(x,i) imes f(i+1)$

    这是个二项式反演没错了:$f(x+1)=sumlimits_{i=0}^x (-1)^{x-i} imes C(x,i) imes [i=k-1]=(-1)^{x-k+1} imes C(x,k-1)$

    然后化简:$f(x)=(-1)^{x-k} imes C(x-1,k-1)$

    这是容斥系数qwq

    那么就可以写出来:$kmax(S)=sumlimits_{Tsubseteq S} (-1)^{|T|-k} imes C(|T|-1,k-1) imes min(S)$

    Part 4

    对于上述$kmax (S)$同样满足对期望成立...

    所以就上例题了qwq

    重返现世

    你发现,这就是个板子qwq

    $ans=sumlimits_{S}(-1)^{|S|-k} imes C(|S|-1,k-1) imes min(S)$

    显然,对于$min (S)=frac{m}{sumlimits_{xin S}P_x}$

    所以直接DP就好了qwq

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