KMP是啥?KMP当然是KMPlayer的简称啦
KMP算法是用来解决字符串匹配的一种算法,由D.E.Knuth、J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现,然后它可以用来干啥呢?我们上个例题:
给定两个字符串(S,T),问(T)在(S)中出现了多少次,出现的起始位置不同即为不同
(O(n^2))暴力!(我当然知道你会)
(|S|,|T|leqslant 10^5),怎么做?
所以这时我们就需要引入KMP算法,它能在最坏(O(n))的复杂度下解决子串匹配的问题
首先我们考虑一下(O(n^2))的冗余在哪里?举个栗子吧,我令S='aaaaaaaaac',T='aaaac',然后跑一遍(O(n^2)),你会发现每次(S_{i+5})与(T_5)失配后,它会从(S_{i+1})从头开始匹配,但是,其实没必要重新开始对吧?因此你发现这个(O(n^2))的算法做了非常多没有意义的匹配,导致时间复杂度急剧增加,然后就TLE了
发现问题自然需要解决,如何解决?KMP算法就基于这个冗余提出了优化方案,它建立了一个对于任意字符串(S)而言的Next(C++11中next是关键字,所以我使用大写,并在之后简称为(N)数组)数组,(N_i)表示([S_1...S_i])中前缀后缀相等的长度,也就是有([S_1...S_{N_i}]=[S_{i-N_i+1}..S_i]),举个栗子,若字符串S='abcabc',则它的(N)数组为({0,0,0,1,2,3})((N_1=0)是定义的)
有了(N)数组后有何用?既然是为了解决冗余的,那我们就来看看它如何解决这个冗余。我们依然采用之前的栗子,首先对于(T)串求出其(N)数组:({0,1,2,3,0}),然后我们进行匹配,然后遇到(S_5)与(T_5)失配,然后怎么处理?
当然把它俩从头开始啊((n^2)了啊喂,你(N)白求了);你发现(T_4
ightarrow T_5)过程中与(S_4
ightarrow S_5)失配了,然后想想(N)数组的性质,可能存在(T_{N_4}
ightarrow T_{N_4+1})能匹配啊,然后你就只需要把枚举(T)的指针疯狂跳(N)数组,直到能匹配为止
然后我们画个图来理解一下
这里红色平行线之间的完全相同的部分,之后就是失配的字符,绿色的便是后缀和前缀相同的部分
然后我们就将T往后挪一点点,黄色部分和绿色部分相同,然后黑色箭头则说明T中的位置在T'中对应的位置,棕色箭头即为跳(N)数组的过程
然后我们贴个代码
for (int i=1,j=0;i<=Lens;i++){
while (j&&s[i]!=t[j+1]) j=Next[j];
if (s[i]==t[j+1]) j++;
if (j==Lent) j=Next[j],Ans++;//就算匹配了也要跳一次匹配其他的,因为是统计出现次数
}
然后这题就做完了对吧?不对,我还没有讲(N)数组的构造方法……其实构造方法和匹配差不多,贴个代码,读者们可以自己看下
for (int i=2,j=0;i<=Lent;i++){
while (j&&t[i]!=t[j+1]) j=Next[j];
if (t[i]==t[j+1]) j++;
Next[i]=j;
}
然后我们来考虑一下时间复杂度,显然是(O(n))的,做道例题吧
求(T)在(S)中的出现位置,并且输出(T)的Next数组
直接套用板子就好
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
return x*f;
}
inline void print(int x){
if (x>=10) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e6;
char t[N+10],s[N+10];
int Next[N+10];
int Lens,Lent,ans;
void get(){
for (int i=2,j=0;i<=Lent;i++){
while (j&&t[i]!=t[j+1]) j=Next[j];
if (t[i]==t[j+1]) j++;
Next[i]=j;
}
}
void work(){
get();
for (int i=1,j=0;i<=Lens;i++){
while (j&&s[i]!=t[j+1]) j=Next[j];
if (s[i]==t[j+1]) j++;
if (j==Lent) j=Next[j],printf("%d
",i-Lent+1);
}
}
int main(){
scanf("%s",s+1);
scanf("%s",t+1);
Lens=strlen(s+1),Lent=strlen(t+1),ans=0;
work();
for (int i=1;i<=Lent;i++) i!=Lent?printf("%d ",Next[i]):printf("%d
",Next[i]);
return 0;
}