浅谈算法——树链剖分

前言

首先树链剖分需要使用到线段树知识，不会线段树的童鞋请移步至浅谈算法——线段树

在做题中我们会看到一些“在一棵树上进行路径修改、求极值、求和”的题，乍一看能够用线段树解决，其实仅仅凭线段树是根本无法完成的。这时候，我们就需要用到一种看起来高级的复杂算法——树链剖分

基本概念

重儿子：size[u]（表示以u为根节点的子树节点个数）为v的子节点中最大的，称u为v的重儿子
轻儿子：v的其他子节点
重边：v与其重儿子的连边
轻边：v与其轻儿子的连边
重链：重边组成的一条链

如图所示，圆圈内为size，粗边为重边，我们称某条路径为重链，当且仅当它全部由重边组成。不存在轻链这一说法

任意一个点到根的路径上，不超过(log n)条轻边，也不超过(log n)条重链，这是整个算法时间复杂度的保证，证明略。因为我也不会证明

基本操作

树链：树上的路径
剖分：把路径分为两类

树链剖分的操作为两次dfs

• 找重边
• 把重边连成重链

记size[v]表示以v为根的儿子节点的个数，deep[v]表示v的深度(根深度为1)，top[v]表示v所在重链的顶端节点，fa[v]表示v的父亲节点，Rem[v]表示v的重儿子，ID[v]表示v的新编号

第一遍dfs将size,deep,fa,Rem求出来

第二遍dfs的时候，每次优先dfs重儿子，这样可以使得重儿子的编号连续

如下图示，粗边为重边，细边为轻边。节点边带红点的说明其为该条重链的顶端，蓝色数字代表其新编号

为什么要按这种方式去进行树链剖分？
因为在剖分完之后，我们可以发现重链上的点的编号是连续的，所以我们可以用线段树或其他高级数据结构去维护重链上的信息，由于每条重链所占据的编号互不相同，所以我们可以把这些重链首尾相连，放到一个高级数据结构上进行维护。同时我们认为一个点也属于一条重链。轻边的信息可以直接维护。因为它不好维护，除非把边权下移作为点权

树上基本操作

单点修改：直接按新编号对应单点修改即可
路径修改：
1、u和v在同一条重链上，直接线段树区间修改即可
2、u和v不在同一条重链上，我们要想办法把它们往同一条重链上靠

• fa[top[u]]与v在同一条重链上，两次做区间修改即可
• u经过若干条重链与轻边后和v在同一条重链上，多次做区间修改即可
• u和v都经过若干条重链与轻边后在同一条重链上，那么每次找到深度较深的点x，做一次区间修改后，在将该点跳到fa[top[x]]，知道u和v在同一条重链上

前两种情况是特殊的第三种情况。
查询操作：和路径修改类似，求极值，最大值最小值等，在线段树操作时按照具体情况修改即可

由于经过的重链个数不会超过(log n)级别，因此整个树链剖分的复杂度为(O(nlog^2n))，但实际上比某些(O(nlog n))的算法要快

例题

P3384 【模板】树链剖分

Description
如题，已知一棵包含N个结点的树（连通且无环），每个节点上包含一个数值，需要支持以下操作：
操作1： 格式： 1 x y z 表示将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
操作2： 格式： 2 x y 表示求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
操作3： 格式： 3 x z 表示将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
操作4： 格式： 4 x 表示求以x为根节点的子树内所有节点值之和

Input
第一行包含4个正整数N、M、R、P，分别表示树的结点个数、操作个数、根节点序号和取模数（即所有的输出结果均对此取模）。
接下来一行包含N个非负整数，分别依次表示各个节点上初始的数值。
接下来N-1行每行包含两个整数x、y，表示点x和点y之间连有一条边（保证无环且连通）
接下来M行每行包含若干个正整数，每行表示一个操作，格式如下：
操作1： 1 x y z
操作2： 2 x y
操作3： 3 x z
操作4： 4 x

Output
输出包含若干行，分别依次表示每个操作2或操作4所得的结果（对P取模）

Sample Input
5 5 2 24
7 3 7 8 0
1 2
1 5
3 1
4 1
3 4 2
3 2 2
4 5
1 5 1 3
2 1 3

Sample Output
2
21

HNIT
对于100%的数据：$ N leq {10}^5, M leq {10}^5$

故输出应依次为2、21(重要的事情说三遍：记得取模)

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())	if (ch=='-')    f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())	x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline void print(int x){
	if (x>=10)     print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5;
int v[N+10],dfn[N+10],Line[N+10];
int n,m,root,mod;
struct Segment{//线段树Lazy标记操作
	#define ls (p<<1)
	#define rs ((p<<1)|1)
	int tree[(N<<2)+10],Lazy[(N<<2)+10];
	void updata(int p){tree[p]=(tree[ls]+tree[rs])%mod;}
	void add_tag(int p,int l,int r,int v){
		tree[p]=(tree[p]+1ll*(r-l+1)*v)%mod;
		Lazy[p]=(Lazy[p]+v)%mod;
	}
	void pushdown(int p,int l,int r){
		if (!Lazy[p])	return;
		int mid=(l+r)>>1;
		add_tag(ls,l,mid,Lazy[p]),add_tag(rs,mid+1,r,Lazy[p]);
		Lazy[p]=0;
	}
	void build(int p,int l,int r){
		if (l==r){tree[p]=v[Line[l]]%mod;return;}
		int mid=(l+r)>>1;
		build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
		updata(p);
	}
	void insert(int p,int l,int r,int x,int y,int v){
		if (x<=l&&r<=y){add_tag(p,l,r,v);return;}
		int mid=(l+r)>>1;
		pushdown(p,l,r);
		if (x<=mid)	insert(ls,l,mid,x,y,v);
		if (y>mid)	insert(rs,mid+1,r,x,y,v);
		updata(p);
	}
	int query(int p,int l,int r,int x,int y){
		if (x<=l&&r<=y)	return tree[p];
		pushdown(p,l,r);
		int mid=(l+r)>>1,res=0;
		if (x<=mid)	res=(res+query(ls,l,mid,x,y))%mod;
		if (y>mid)	res=(res+query(rs,mid+1,r,x,y))%mod;
		return res;
	}
}Tree;
struct Start{
	int pre[(N<<1)+10],child[(N<<1)+10],now[N+10];
	int deep[N+10],size[N+10],fa[N+10],Rem[N+10],top[N+10];
	int tot,cnt;
	void join(int x,int y){pre[++tot]=now[x],now[x]=tot,child[tot]=y;}
	void build(int x,int Deep){//第一遍dfs
		deep[x]=Deep,size[x]=1;
		for (int p=now[x],son=child[p],Max=0;p;p=pre[p],son=child[p]){
			if (son==fa[x])	continue;
			fa[son]=x;
			build(son,Deep+1);
			size[x]+=size[son];
			if (Max<size[son])	Max=size[son],Rem[x]=son;
		}
	}
	void dfs(int x){//第二遍dfs
		if (!x)	return;
		Rem[fa[x]]==x?top[x]=top[fa[x]]:top[x]=x;
		dfn[x]=++cnt,Line[cnt]=x;
		dfs(Rem[x]);
		for (int p=now[x],son=child[p];p;p=pre[p],son=child[p]){
			if (son==fa[x]||son==Rem[x])	continue;
			dfs(son);
		}
	}
	void insert(int x,int y,int z){//区间操作
		while (top[x]!=top[y]){
			if (deep[top[x]]<deep[top[y]])	swap(x,y);
			Tree.insert(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],z);
			x=fa[top[x]];
		}
		if (deep[x]>deep[y])	swap(x,y);
		Tree.insert(1,1,n,dfn[x],dfn[y],z);
	}
	int query(int x,int y){//区间查询
		int res=0;
		while (top[x]!=top[y]){
			if (deep[top[x]]<deep[top[y]])	swap(x,y);
			res=(res+Tree.query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]))%mod;
			x=fa[top[x]];
		}
		if (deep[x]>deep[y])	swap(x,y);
		res=(res+Tree.query(1,1,n,dfn[x],dfn[y]))%mod;
		return res;
	}
}T;
int main(){
	n=read(),m=read(),root=read(),mod=read();
	for (int i=1;i<=n;i++)	v[i]=read();
	for (int i=1,x,y;i<n;i++)	x=read(),y=read(),T.join(x,y),T.join(y,x);
	T.build(root,1),T.dfs(root),Tree.build(1,1,n);
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int t=read();
		if (t==1){
			int x=read(),y=read(),z=read();
			T.insert(x,y,z);
		}
		if (t==2){
			int x=read(),y=read();
			printf("%d
",T.query(x,y));
		}
		if (t==3){//子树修改
			int x=read(),z=read();
			Tree.insert(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+T.size[x]-1,z);
		}
		if (t==4){//子树查询
			int x=read();
			printf("%d
",Tree.query(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+T.size[x]-1));
		}
	}
	return 0;
}