组合数与错排数求解方法探析

组合数：
我们都知道组合数C(m,n)的含义是从m个物品中选n个物品的方法种数，其冠以的数学求解表达式为：
C(m,n)=m!/(n!*(m-n)!); 这个公式是显而易见的，并不难证明。
但是某些题目中利用阶乘求其组合数，会浪费很多的时间和空间，可能会出现TLE,WA。因此，我们不得不寻求一些技巧，更加快捷的求出组合数。
现将常用的球求组合数C(m,n)总结如下

    1）
        int a[1000]
         a[0]=1;
         for(int i=1;i<=m;i++)
              for(int j=i;j>=1;j--)
                   a[j]+=a[j-1]; 
       注意：此方法只有当两重循环完成时，a[n]才能表示C(m,n),中间值不能表示C(m,n).
                 此规律可有杨辉三角中的规律得来。
    2)数组保存n!
         int a[max];
         a[0]=1;
         for(int i=1;i<max;i++)
                a[i]=i*a[i-1];
        此时a[i]保存了i!,则C(m,n)=a[m]/a[n]/a[m-n].

• 错排数：
  由容斥原理很容易得到错排公式为：
  S[n]=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!……….(-1)^n*1/n!)
  而且 错排数相邻两项递推S[n]=n*S[n-1]+(-1)^n;
  值得注意的是
  还有第二种递推式：
  S[n]=(n-1)*(S[n-1]+S[n-2])
  因此可以有两种打表方式：

               a[0]=0;a[1]=0;
           for(int i=0;i<max;i++)
              a[i]=i*a[i-1]+(-1)^i

               或：

       for(int i=2;i<max;i++）
             a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2])；