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  • HDOJ 2036 求多边形面积

    可以利用多边形求面积公式:
    S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )
    其中点(x0, y0), (x1, y1), ... , (x
    n, yn)为多边形上按逆时针顺序的顶点。

    简要证明:
    1.我们先简单地从三个点入手(包括原点)。


                          


    面积S△OAB = SABCD - S△OAD - S△OBC ·SABCD = (y0 + y1) × (x0 - x1) ÷ 2 ·S△OAD = x0 × y0 ÷ 2 ·S△OBC = (-x1) × y1 ÷ 2 S△OAB = (x0 × y0 + x0 × y1 - x1 × y0 - x1 × y1 - x0 × y0 + x1 × y1) ÷ 2 = (x0 × y1 - x1 × y0) ÷ 2 公式成立。同理你可以算出其他情况也能符合这个公式。
    
    
    此处注意:由上面的公式可猜想:任意三角形ABC(坐标逆时针排序)的面积为1/2*(x0*y1-x1*y2+x1*y2-x2*y1+x2*y0-x0*y2)
                    
    设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 
    由A-->B-->C-->A 按逆时针方向转。(行列式书写要求) 
    设三角形的面积为S 
    则S=(1/2)*(下面行列式) 
    |x1 y1 1| 
    |x2 y2 1| 
    |x3 y3 1| 
    S=(1/2)*(x1y2*1+x2y3*1+x3y1*1-x1y3*1-x2y1*1-x3y2*1) 
    即用三角形的三个顶点坐标求其面积的公式为: 
    S=(1/2)*(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2)
                     由此可推广至n边型,可得如下猜想:
    2.假设该公式对于n个顶点的多边形成立。即:
    S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )

    再加如第n+1点后,面积S' = S + S△A0AnAn+1 ·S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) ) ·S△A0AnAn+1 = 0.5 * ( (X0*Yn-Xn*Y0) + (Xn*Yn+1-Xn+1*Yn) + (Xn+1*Y0-X0*Yn+1) ) ∴S' = S = 0.5 * ( (X0*Y1-X1*Y0) + (X1*Y2-X2*Y1) + ... + (Xn*Yn+1-Xn+1*Yn) + (Xn+1*Y0-X0*Yn+1) )
    综上所述,得到公式:S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )

    得证!


    此公式可引申之三维空间:

          已知ABC三点坐标为(x1,y1,z1)(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)

        则空间Sabc=    |x1,y1,z1|  *1/2

                                |x2,y2,z2|

                                |x3,y3,z3|

     代码:

    #include <math.h>
    #include <stdio.h>
    
    int main(void)
    {
        int x[3], y[3], n;
        double sum;
    
        while (scanf("%d", &n), n)
        {
            scanf("%d%d", x, y);
            x[2] = x[0]; y[2] = y[0];
            sum = 0.0;
            while (--n)
            {
                scanf("%d%d", x+1, y+1);
                sum += x[0]*y[1] - x[1]*y[0];
                x[0] = x[1]; y[0] = y[1];
            }
            sum += x[0]*y[2] - x[2]*y[0];
            printf("%.1f
    ", sum / 2.0);
        }
    
        return 0;
    }


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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Wu-Shi/p/5410079.html
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