HDOJ 2036 求多边形面积

可以利用多边形求面积公式：
S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )
其中点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)为多边形上按逆时针顺序的顶点。

简要证明：
1.我们先简单地从三个点入手(包括原点)。

                      

面积S△OAB = SABCD - S△OAD - S△OBC

  ·SABCD = (y0 + y1) × (x0 - x1) ÷ 2
  ·S△OAD = x0 × y0 ÷ 2
  ·S△OBC = (-x1) × y1 ÷ 2

S△OAB 	= (x0 × y0 + x0 × y1 - x1 × y0 - x1 × y1 - x0 × y0 + x1 × y1) ÷ 2
	= (x0 × y1 - x1 × y0) ÷ 2
公式成立。同理你可以算出其他情况也能符合这个公式。

此处注意：由上面的公式可猜想：任意三角形ABC(坐标逆时针排序)的面积为1/2*（x0*y1-x1*y2+x1*y2-x2*y1+x2*y0-x0*y2）

                
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 
由A-->B-->C-->A 按逆时针方向转。(行列式书写要求） 
设三角形的面积为S 
则S=（1/2)*(下面行列式） 
|x1 y1 1| 
|x2 y2 1| 
|x3 y3 1| 
S=(1/2)*(x1y2*1+x2y3*1+x3y1*1-x1y3*1-x2y1*1-x3y2*1) 
即用三角形的三个顶点坐标求其面积的公式为: 
S=(1/2)*(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2)

                 由此可推广至n边型，可得如下猜想：

2.假设该公式对于n个顶点的多边形成立。即：
S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )

     

再加如第n+1点后，面积S' = S + S△A0AnAn+1

  ·S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )
  ·S△A0AnAn+1 = 0.5 * ( (X0*Yn-Xn*Y0) + (Xn*Yn+1-Xn+1*Yn) + (Xn+1*Y0-X0*Yn+1) )

∴S' = S = 0.5 * ( (X0*Y1-X1*Y0) + (X1*Y2-X2*Y1) + ... + (Xn*Yn+1-Xn+1*Yn) + (Xn+1*Y0-X0*Yn+1) )

综上所述，得到公式：S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )

得证！

此公式可引申之三维空间：

      已知ABC三点坐标为（x1,y1,z1）(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)

    则空间Sabc=    |x1,y1,z1|  *1/2

                            |x2,y2,z2|

                            |x3,y3,z3|

 代码：

#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int x[3], y[3], n;
    double sum;

    while (scanf("%d", &n), n)
    {
        scanf("%d%d", x, y);
        x[2] = x[0]; y[2] = y[0];
        sum = 0.0;
        while (--n)
        {
            scanf("%d%d", x+1, y+1);
            sum += x[0]*y[1] - x[1]*y[0];
            x[0] = x[1]; y[0] = y[1];
        }
        sum += x[0]*y[2] - x[2]*y[0];
        printf("%.1f
", sum / 2.0);
    }

    return 0;
}