浅谈树链剖分

我们知道一颗树的dfs序可以有多种，所以可以通过一些暗箱操作把dfs序给安排了，从而能够更好的维护树上的区间信息

什么是树剖

树剖的核心是恰当的把树剖分成若干条链，链拼接起来就成了一段区间，然后利用数据结构来维护。

一些概念

重儿子：子树节点最多的儿子

轻儿子：重儿子以外的儿子

重边：父节点与重儿子所连的边

轻边：父节点与轻儿子所连的边

重链：重边组成的路径

轻链：轻边组成的路径

重链头：一条重链中深度最浅的点。特别地，与轻边相连的叶子节点也算重链头

图中加粗边为重边，红点为重链头

树链剖分流程

第一步，对这棵树进行dfs，处理出每个节点的父节点、深度、重儿子

void dfs1(int u)
{
	size[u]=1; //size表示子树大小，初始size为1 
	for(int x=Root[u];x!=0;x=Next[x])
		if(v[x]!=fa[u]){
			d[v[x]]=d[u]+1;fa[v[x]]=u; //处理深度和父亲节点 
			dfs1(v[x]);size[u]+=size[v[x]]; //子节点size值处理后，更新父节点size 
			if(size[v[x]]>son[u])son[u]=v[x]; //取size最大的为重儿子 
		}
}

第二步，连接重边，形成重链，并记录新dfs序

void dfs2(int u,int t)//u为当前节点，t为u所在重链的重链头 
{
	id[u]=++tot,cur[tot]=a[u],top[u]=t; //处理dfs序和重链头
	//id为时间戳，cur为新dfs序对应的值，top为重链头 
	if(son[u])dfs2(son[u],t);//先处理重儿子
	//注意，重儿子和它的父节点都是同一个重链头 
	for(int x=Root[u];x!=0;x=Next[x])
		if(v[x]!=fa[u]&&v[x]!=son[u])//如果是轻链底端，则自己做重链头 
			dfs2(v[x],v[x]);
} 

至此，我们对树的剖分就结束了

经过剖分之后，我们发现这棵树就可以看成很多条链了

根据dfs序的性质我们可以知道，树链上的标号现在都是连续的，因此树上问题就被转化成了多个区间的问题，自然就可以想到用线段树来维护这颗被剖分好的树

线段树的使用方法和平常无异，只需注意一下build和引用函数时需要使用dfs序编号

void build(ll l,ll r,ll x)
{
	c[x].l=l,c[x].r=r;
	if(l==r){
		c[x].sum=cur[l];// 这里是dfs序编号对应的值
		return;
	}
	ll mid=(l+r)>>1;
	build(l,mid,x<<1);
	build(mid+1,r,x<<1|1);
	update(x);
}

接下来我们看看树剖如何解决树上问题

以查询树上(x)到(y)的和为例

刚才的dfs维护了top数组

于是可以通过不断的向上跳到重链头，直到(x)和(y)位于一条重链，再用线段树查询出跳过的区间值。这样就可以(O(nlogn))的计算出(x)到(y)的和。

int calsum(int x,int y)
{
	ll res=0;
	while(top[x]!=top[y]){ //两点不在一条重链 
		if(d[top[x]]<d[top[y]]) //设x为深度较深的点 
			swap(x,y);
		res+=query(id[top[x]],id[x],1); //对x所在重链求和 
		x=fa[top[x]]; //跳到重链头的父亲，也就是下一条重链上 
	}	
	if(d[x]>d[y])swap(x,y);  
	res+=query(id[x],id[y],1); //计算同一条重链上x到y的区间和 
	return res;
} 

树剖求LCA

树剖后求LCA就很简单了，只需要跳重链头即可

int lca(int x,int y)
{
	while(top[x]!=top[y]){
		if(d[top[x]]<d[top[y]])
			swap(x,y);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(d[x]>d[y])swap(x,y);
	return x;
}

一些例题

轻重链剖分
树的统计

树链剖分模板题

GSS7

树剖+线段树综合应用

软件包管理器

树剖修改题