积性函数

一.定义

什么是积性函数，看 百度百科　还有策爷的博客

积性函数：对于任意互质的正整数a和b有性质 (f(ab)=f(a)f(b))的数论函数。
完全积性函数：对于任意正整数a和b有性质(f(ab)=f(a)f(b))的数论函数。

这里还有一个文档，讲得蛮详细的 线性筛积性函数
然后这里还有一个博客列举了很多常用的积性函数博客
2016年国家候选队论文任之洲积性函数求和的几种方法

对于两个算术函数 (f),(g) ，定义其狄利克雷卷积为 (f*g) ,其中 ((f*g)(n)=sum_{d|n}f(d)*g(frac{n}{d}))
狄利克雷卷积满足很多性质：
交换律：(f∗g=g∗f,)
结合律：(f*(g*h)=(f*g)*h)
逐点加法的分配律：(f∗(g+h)=f∗g+f∗h)
若(f),(g)是积性函数，那么(f∗g)也是积性函数。
狄利克雷卷积可以用(O(nlogn))的筛法预处理出来。

(1(n)) －不变的函数，定义为(1(n)=1)（完全积性）
(id(n)) －单位函数，定义为(id(n)=n)（完全积性）
(varepsilon(n)) －定义为：若(n=1)，(varepsilon(n)=1)；若(n>1)，(varepsilon(n)=0)。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
(sigma_{k}(n)) － (n)的所有正因子的(k)次幂之和
(sigma(n)) - (n)的所有质因子之和（(sigma_{1}(n))）
(d(n)) － (n)的正因子个数（(sigma_{0}(n))）

因为 (sum_{d|n}mu(d)=[n=1]) ，所以 (1*mu=varepsilon)(由前者证明后者)
因为 (sum_{d|n}varphi(d)=n) ，所以 (1*varphi=id)(由前者证明后者)
还有一点，莫比乌斯函数与欧拉函数之间的转化 $$idmu=1varphimu=varepsilonvarphi=varphi$$

二.线性筛法

（一）线性筛素数

设(n=p*m=p^prime*m^prime)，其中(n)维合数，(p)为(n)的最小质因子。那么，$ p<p^prime (　并且　) m^prime<m $， (p|m^prime) 所以在筛到(m^prime)的时候，内维的(j)循环还没有到(p^prime)就会被(p)给break掉，在到(m)的时候，(j)到(p)后就会筛掉(n)，所以这样就保证了每一个数之后被它最小的质因子筛掉。
例如，在筛24的时候， $ 24 = 3 * 8 = 2 * 12 $ ，那么它就只会被(2 * 12)筛掉

For (i,2,n) {
	if (!vis[i]) p[++N]=i;
	For (j,1,N) {
		if (i*p[j]>n) break;
		vis[i*p[j]]=1;
		if (i%p[j]==0) break;
	}
}

（二）欧拉函数

１．性质

• (1) (varphi(n))表示(1..n)中与(n)互质的数的个数

• (2) (varphi(n))为积性函数

• (3) (varphi(p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)*p^{k-1})

• (4) 欧拉定理：(a^{varphi(n)}equiv 1 pmod{n}) 其中((a,n)=1)

• (5) (sum_{d|n}varphi(d)=n)

• (6) (n>1)时，(1..n)中与(n)互质的整数之和为(frac{nvarphi(n)}{2})

２．线性筛欧拉函数

具体的东西上面那个文档讲得很详细，这里只是补充几点

需要用到的性质
(1) (p) 为质数时 (varphi(p)=p-1)
(2) 若 (n=p*m) 其中 (p) 为 (n) 的最小质因子，如果 (p|m) 那么 (varphi(n)=p*varphi(m))
(3) 若 (n=p*m) 其中 (p) 为 (n) 的最小质因子，如果 (p ot| m) 那么 (varphi(n)=varphi(p)*varphi(m)=(p-1)*varphi(m))
这一点根据积性函数性质可以得到

phi[1]=1;
For (i,2,n) {
	if (!vis[i]) {
		p[++N]=i;
		phi[i]=i-1;
	}
	For (j,1,N) {
		if (i*p[j]>n) break;
		vis[i*p[j]]=1;
		if (i%p[j]==0) {
			phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];
			break;
		}
		else
			phi[i*p[j]]=(p[j]-1)*phi[i];
	}
}

（三）莫比乌斯函数

１．性质

• 设 (n=p_{1}^{k_{1}}*p_{2}^{k_{2}}*...*p_{m}^{k_{m}})，其中 (p) 为素数，那么

[mu(n)=egin{cases} 1 quadquadquadquad n=1 \\ (-1)^{m} quad prod_{i=1}^{m}k_{i}=1 \\ 0 quadquadquadquad otherwise end{cases}]

• 莫比乌斯函数是积性函数，即(mu(a)mu(b)=mu(a cdot b))

• (sum_{d|n} mu(d)=[n=1]) ,这一点根据二项式定理即可证明

２．线性筛莫比乌斯函数

需要用到的性质
根据 (mu) 的性质可以得到，如果 (n=p*m) ，其中 (p) 为 (n) 的质因子，如果 (p|m) 那么显然 (mu(n)=0) ，否则 (mu(n)=-mu(m))

miu[1]=1;
For (i,2,n) {
	if (!vis[i]) {
		p[++N]=i;
		miu[i]=-1;
	}
	For (j,1,N) {
		if (i*p[j]>n) break;
		vis[i*p[j]]=1;
		if (i%p[j]==0) {
			miu[i*p[j]]=0;
			break;
		}
		else
			miu[i*p[j]]=-miu[i];
	}
}

（四）约数个数(d(n))

如果 (d(n)) 为 (n) 的约数个数，那么

[d(nm)=sum_{i|n}sum_{j|m}[gcd(i,j)=1] ]

设 (nm=p_{1}^{x_{1}}*...*p_{k}^{x_{k}})，且 (n=p_{1}^{y_{1}}*...*p_{k}^{y_{k}})，那么 (m=p_{1}^{x_{1}-y_{1}}*...*p_{k}^{x_{k}-y_{k}})
设 (i=p_{1}^{a_{1}}*...*p_{k}^{a_{k}})，(j=p_{1}^{b_{1}}*...*p_{k}^{b_{k}})
要使得 (gcd(i,j)=1) 必须要 (a_{i}) 或者 (b_{i}) 等于 (0)，如果 (a_{i}) 等于 (0)，那么 (b_{i}) 共有 (x_{i}-y_{i}+1) 种选择，如果 (b_{i}) 等于(0)，那么 (a_{i}) 共有 (y_{i}+1) 种选择，总共 (x_{i}+1) 种，所以满足条件的(i,j)的个数为(prod(x_{i}+1))

（五）奇葩函数

1.(f(n)=sum_{d|n}dmu(d))

[f(n)=sum_{d|n}dmu(d)=prod_{p_{i}}f(p_{i}^{x_{i}})=prod_{p_{i}}(sum_{d|p_{i}^{x_{i}}}dmu(d))=prod_{p_{i}}(1-p_{i}) ]

f[1]=1;
For (i,2,maxx) {
	if (!vis[i]) {
		p[++N]=i; f[i]=1-i;
	}
	For (j,1,N) {
		int k=i*p[j];
		if (k>maxx) break;
		vis[k]=1;
		if (i%p[j]==0) {
			f[k]=f[i]; break;
		}
		else f[k]=f[i]*(1-p[j]);
	}
}