集合计数

题目描述

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要

在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得它们的交集

的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

输入格式

一行两个整数N,K

输出格式

一行为答案。

样例

样例输入

　3 2

样例输出

　6

数据范围与提示

样例说明

假设原集合为{A,B,C}

则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

数据说明

对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

这题是个容斥好题

然而我蒟蒻的只能怂题解。。。。。

**********************************************

首先可以发现单纯的求满足条件的个数是不行的

可以先将K个元素提前取出

即C(n，k)*2^(2^n-k)-1为大于k个符合时的方案数

然而这会把k+1,k+2.。。。情况算是上

开始蒟蒻想用>=k的情况减>=k+1的情况

然而这是不行的

设f[k]=C(n,k)*(2^(2^n-k)-1)

在算情况k+1时假设固定k个他会由k的状态中C（k+1,k）方式算出

则-C(K+1,k)*f[k-1]

然而这样还是会多减

so还要在k+2加上

然后就愉快的容斥了.

if((i-k)&1==0)ans=(ans+f[i-k]*c(k,i)）%p;

else ans=(ans-f[i-k]*c(k,i))%p;

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MAXN 1000601
#define ll long long
using namespace std;
ll p=1000000007;
ll f[MAXN];ll sum[MAXN];
ll ni[MAXN];
ll N,K;
ll ci[MAXN];
void kxx()
{
   ci[0]=1;
   for(int i=1;i<=N;++i)
   {
      ci[i]=(ci[i-1]<<1)%(p-1);
   }
}
ll pow(ll x,ll y)
{
    ll ans=1;
    while(y>0)
    { 
        if(y&1)ans=ans*x%p;
        x=x*x%p;
        y>>=1;
    }
    return ans%p;
}
ll C(ll x,ll y)
{
    if(y>x)return 0;
    //printf("ni=%lld
",ni[x-y]);
    return (sum[x]*ni[y])%p*ni[x-y]%p;
}
void work()
{
    for(ll i=K;i<=N;++i)
    {
        f[i]=C(N,i)*(pow(2ll,ci[N-i])-1ll);
        f[i]%=p;
    }
    ll ans=0;
    for(ll i=K;i<=N;++i)
    {
       if((i-K)%2==0)
       {
            ans=(ans+C(i,K)*f[i])%p;
       }
       else
            ans=(ans-C(i,K)*f[i]+p)%p;
    }
    printf("%lld
",(ans+p)%p);
}
int b[MAXN];
int main()
{
   scanf("%lld%lld",&N,&K);
   sum[0]=1;ni[0]=1;sum[1]=1;ni[1]=1;
   b[0]=1;b[1]=1;
   kxx();
   for(ll i=2;i<=N;++i)
   { 
       sum[i]=(sum[i-1]*i)%p;
       b[i]=(p-p/i)*b[p%i]%p;
       ni[i]=ni[i-1]*b[i]%p;
   }
   work();
}