【模拟8.09】建设城市（city） （容斥）

放在了考试T1

发现70分的DP很水啊，f[i][j]为当前位置是i分配了j个队的方案

我们用前缀和统计，在将i删去，j倒序枚举，就可以删掉一维（也可以滚动数组滚起来）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#define MAXN 110001
#define int long long
using namespace std;
int f[MAXN],sum[MAXN];
int n,m,K;
const int mod=998244353;
int ans=0;
signed main()
{
  // freopen("text.in","r",stdin);
  // freopen("a.out","w",stdout);  
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&K);    
     m-=n;K-=1;
    if(m<0||K<0)
    {
         printf("0
");
         return 0;
    }
    f[0]=1;sum[0]=1;
    for(int j=1;j<=m;++j)sum[j]=sum[j-1]+f[j];
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=m;j>=0;--j)
        {
            if(j-K-1>=0)
               f[j]=(sum[j]-sum[j-K-1]+mod)%mod;
            else
               f[j]=sum[j]%mod;
           // printf("%lld f[%lld]=%lld
",i,j,f[j]);
        }
        sum[0]=f[0];
        for(int j=1;j<=m;++j)
        {
            sum[j]=(sum[j-1]+f[j]+mod)%mod;
        }
    }
    printf("%lld
",f[m]%mod);
}
/*
3 7 3
*/

正解是容斥

每次枚举至少有i个不符合条件，很显然满足容斥定理

然后C(n,i)表示在n个城市中任选出i个不符合的

C(m-1-i*K,n-1)显然挡板法，现将i*K这一不符合条件的部分删去，然后在剩余区间中

插入n-1个板子，意味着分成n份，

又因为C(n,i)是选出不符合的i个，然后相乘，就是至少为i时的所有情况

我们发现至少为i的情况包括i+1，i+2.....的情况，

那么我们可以看出i+1的情况可以看成是在至少为i时，确定了i，又选了1个

以至少为一为例，

选了为2的情况为C(2,1)次，（2集合中的两个数都被1集合重复选过）

那么容斥一下至少为2时改为加

至于容斥更严谨的证明，可以去看别人博客，我就不证了.......

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#define MAXN 31000001
#define int long long
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,m,K;
int ni_c[MAXN],jie[MAXN],ni[MAXN];
int C(int x,int y)
{
    if(y>x)return 0;
    if(y==0)return 1;
    return jie[x]*ni_c[y]%mod*ni_c[x-y]%mod;
}
signed main()
{
   scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&K);
   int ans=0;
   jie[1]=1;ni[1]=1;ni_c[1]=1;
   jie[0]=1;ni[0]=1;ni_c[0]=1;
   for(int i=2;i<=m+1;++i)
   {
       jie[i]=jie[i-1]*i%mod;
       ni[i]=(mod-mod/i)*ni[mod%i]%mod;
       ni_c[i]=ni_c[i-1]*ni[i]%mod;
   }
   ans=C(m-1,n-1)%mod;
   int base=n;
   for(int i=1;i<=n;++i)
   {
       if(m-(i*K)<n)break;
       if((i%2)==0)
       {
           ans=(ans+base*C(m-1-(i*K),n-1)%mod+mod)%mod;
       }
       else
       {
           ans=(ans-base*C(m-1-(i*K),n-1)%mod+mod)%mod;
       }
       base=(base*(n-i)%mod)*ni[i+1]%mod;
   }
   printf("%lld
",ans%mod);
}