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设想一个公司里有A, B, C三种工具, 有员工1, 2, 3, 4号. 这四位员工分别能操作的机型为情况为:
1: A, B
2: A, C
3: A
若想充分发挥所有人和所有机器的能力, 让生产力最大化, 我们不难安排1->B, 2->C, 3->A.
当一个公司非常大, 机器种类非常多, 员工非常多, 那么此时就需要一种有效的算法来解决人员分配的问题. 而匈牙利算法就可以做到这一点.
上述问题中, 员工和机器可以看作一个二部图(或二分图, 见http://en.wikipedia.org/wiki/Bipartite_graph), 设G=(V,E)是一个无向图, 如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B), 并且图中的每条边(i,j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A, j in B),则称图G为一个二分图. 上例中, 员工二分图的一个集合, 机器是另一个集合.
匈牙利算法进行时需要找一个叫做"交错路径"(或者交错树)的东西, 下边第一个图黑色实现标出了一个匹配, 而第二个图则给出了这个匹配的交错路径. 交错路径是针对匹配而言的.
匈牙利算法的一个案例:
1、起始没有匹配
2、选中第一个x点找第一跟连线
3、选中第二个点找第二跟连线
4、发现x3的第一条边x3y1已经被人占了,找出x3出发的的交错路径x3-y1-x1-y4,把交错路中已在匹配上的边x1y1从匹配中去掉,剩余的边x3y1 x1y4加到匹配中去
5、同理加入x4,x5。
匈牙利算法可以深度有限或者广度优先,本文的示例采用深度优先,即x3找y1,y1已经有匹配,则找交错路。若是广度优先,应为:x3找y1,y1有匹配,x3找y2。
模版:
1 bool 寻找从k出发的对应项出的可增广路 2 { 3 while (从邻接表中列举k能关联到顶点j) 4 { 5 if (j不在增广路上) 6 { 7 把j加入增广路; 8 if (j是未盖点 或者 从j的对应项出发有可增广路) 9 { 10 修改j的对应项为k; 11 则从k的对应项出有可增广路,返回true; 12 } 13 } 14 } 15 则从k的对应项出没有可增广路,返回false; 16 } 17 void 匈牙利hungary() 18 { 19 for i->1 to n 20 { 21 if (则从i的对应项出有可增广路) 22 匹配数++; 23 } 24 输出 匹配数; 25 }