zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 博弈的SG函数理解及模板

    首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

    对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g(x)即sg[x]

    例如:取石子问题,有1堆n个的石子,每次只能取{1,3,4}个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?

    sg[0]=0,f[]={1,3,4},

    x=1时,可以取走1-f{1}个石子,剩余{0}个,mex{sg[0]}=mex{0},故sg[1]=1;

    x=2时,可以取走2-f{1}个石子,剩余{1}个,mex{sg[1]}=mex{1},故sg[2]=0;

    x=3时,可以取走3-f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,mex{sg[2],sg[0]}=mex{0,0},故sg[3]=1;

    x=4时,可以取走4-f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,mex{sg[3],sg[1],sg[0]}=mex{1,1,0},故sg[4]=2;

    x=5时,可以取走5-f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,mex{sg[4],sg[2],sg[1]}=mex{2,0,1},故sg[5]=3;

    以此类推.....

       x         0  1  2  3  4  5  6  7  8....

    sg[x]      0  1  0  1  2  3  2  0  1....

    /*
    所用的原理为:
    规则1:一个状态是必败状态当且仅当它所有后继是必胜状态
    规则2:一个状态是必胜状态当且仅当它至少有一个后继是必败状态
    */

    模板一(SG打表):

    //f[]:可以取走的石子个数
    //sg[]:0~n的SG函数值
    //hash[]:mex{}
    int f[N],sg[N],hash[N];     
    void GetSG(int n)
    {
        int i,j;
        memset(sg,0,sizeof(sg));//sg[0]就为0
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            memset(hash,0,sizeof(hash));
            for(j=1;f[j]<=i;j++)//f[]从1开始
                hash[sg[i-f[j]]]=1;
            for(j=0;j<=n;j++)    //求mes{}中未出现的最小的非负整数
            {
                if(hash[j]==0)
                {
                    sg[i]=j;
                    break;
                }
            }
        }
    }

     模板二(搜索dfs):

    //注意 f数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
    //n是集合f的大小 f[i]是定义的特殊取法规则的数组
    int f[110],sg[10010],n;
    int SG_dfs(int x)
    {
        int i;
        if(sg[x]!=-1)
            return sg[x];
        bool vis[110];
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            if(x>=f[i])
            {
                SG_dfs(x-f[i]);
                vis[sg[x-f[i]]]=1;
            }
        }
        int e;
        for(i=0;;i++)
            if(!vis[i])
            {
                e=i;
                break;
            }
        return sg[x]=e;
    }
  • 相关阅读:
    前端之html的常用标签2和css基本使用
    前端之前端介绍或html的常用标签1
    mysql之练习题4
    mysql之零碎知识
    mysql之索引查询2
    python对象类型----数字&字符串
    初识python---简介,简单的for,while&if
    Shell 语句
    正则表达式----grep
    EG:nginx反向代理两台web服务器,实现负载均衡 所有的web服务共享一台nfs的存储
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/XDJjy/p/3348772.html
Copyright © 2011-2022 走看看