线性筛

定义：

线性筛是在O(nlog(log(n)))的Eratosthenes筛法基础上改进得到的一种算法，可以O(n)求得1~n中的所有素数，因此经常在一些与素数有关的问题中用于预处理。对线性筛进行扩展之后，又可以计算出几乎所有的积性函数。

PS：素数密度据一位老师所说是O(n/ln(n))的。

原理：

线性筛的基础思想与Eratosthenes筛法相同，不再赘述。Eratosthenes筛法在运行过程中，含有多个质因子的数会被重复筛掉。例：30=2*3*5，则它会被2，3，5都筛一遍，而这显然是没有必要的。线性筛正是从这个地方着手改进得来。

线性筛的核心思想就是在筛的过程中，每个合数都只被它的最小质因子筛去。这样就能保证每个合数都只被筛一次，复杂度为O(n)。

下面是线性筛的代码：

void prime()
{
 　　int i,j;
 　　p[1]=1;
 　　for(i=2;i<=n;i++)
 　　{
  　　　　if(!p[i]){b[++tot]=i;}
 　　　　 for(j=1;j<=tot&&i*b[j]<=n;j++)
 　　　　 {
　　　　　　   p[i*b[j]]=1;
　　　　　　   if(i%b[j]==0){break;}
 　　　　 }
　　 }
}

可以发现，线性筛与Eratosthenes筛的区别仅仅是多了一条语句。下面来证明这条语句能使每个合数都只被它的最小质因子筛去。

证明：由p[i*b[j]]=1;又由每个合数都只被它的最小质因子筛去可知，b[j]是i*b[j]的最小质因子。又因为b数组是单调增的，如果i中有b[j]这个质因子，则b[j+1],b[j+2]......一定都不是i*b[j+1],i*b[j+2],......的最小质因子，因此在i基础上的筛没有必要进行下去，直接跳出循环。

至此，我们便实现了O(n)筛出1~n的所有素数。

例题：

Luogu P3383 【模板】线性筛素数 题目链接

题解：

线性筛裸题，直接使用即可。这道题用Eratosthenes筛也可以过，但速度差异明显。

扩展：积性函数的计算

定义：

对于一个数论函数f(x)，gcd(a,b)=1,如果有f(a*b)=f(a)*f(b),则称f(x)具有积性。

常见的积性函数：欧拉函数φ，莫比乌斯函数μ，约数幂次和d_k. ，gcd(n,k)（k为给定整数）

原理：

在原有线性筛中额外求一个数组h，h[i]表示i的最小质因子的幂次。即：x=p₁^a₁+p₂^a₂+......，（a_i!=0,p₁<p₂<......）则h[x]=p₁^a₁。

在线性筛结束之后，从1~n线性递推，由gcd(h[i],i/h[i])=1，f(i)=f(h[i])*f(i/h[i])。

当i=p^k 时需要特殊处理，一般从该积性函数的定义就可以直接计算。例：φ(p^k )=p^k -p^k-1 。

至此，我们便实现了线性筛的扩展。

代码（线性筛求φ）：

#define LL long long

void prime()
{
 　　LL i,j,k;
　　 p[1]=1;phi[1]=1;
 　　for(i=2;i<maxn;i++)
　　 {
 　　　　 if(!p[i]){b[++tot]=i;h[i]=i;}
　　　　  for(j=1;j<=tot&&i*b[j]<maxn;j++)
 　　　　 {
  　　　　　　 p[i*b[j]]=1;h[i*b[j]]=b[j];
 　　　　　　  if(i%b[j]==0){h[i*b[j]]=h[i]*b[j];break;}
　　　　  }
 　　}
 　　for(i=1;i<=tot;i++){for(j=b[i];j<maxn;j*=b[i]){phi[j]=j-j/b[i];}}
 　　for(i=2;i<maxn;i++){phi[i]=phi[h[i]]*phi[i/h[i]];}
}